考研高數知識點總結 第一單元 函數

第一單元函數1.1函數

函數是變量與變量的一種對應關系。本書變量均取值于實數。1.1.1實數

實數：有理數（分數）和無理數（無限不循環(huán)）的總稱。

性質：1、封閉性，實數對四則運算（加減乘除）是封閉的，即任意兩個實數進行加減乘除（除法分數不為0）運算后，其結果仍為實數。

2、有序性，即任意兩個實數可比較大�。╝>b,=,0。δ：此鄰域半徑該鄰域記作O（α，δ）或O（α）3

α的去心鄰域：O（α，δ）去掉中心α記作O（α，δ）或O（α）由于α-δ

常量：在某個研究過程保持不變的量變量：可以取不同數值的量

變量y是變量x的一個函數：設在某一問題中有兩個變量x和y,變量x的變化范圍為D。如果對D中每一個值x，按照某種對應方法f，都有變量y的一個唯一確定值與之對應，則稱變量y是變量x的一個函數。記為y=f(x),x∈Dx為自變量，y為因變量或函數，

x的變化范圍D為函數的定義域，y的變化范圍為函數的值域，記為M

注意：函數主由對應法則和其定義域D確定，與變量所選用的記號無關。5函數定義域：1、分母不為零

2、開偶次方，被開方式的值非負

3、對數式中真數必須>零,底數>0且≠1eg.logaXa底數Eg.1、F(x)=2lgXg(x)=lg

不等。F(x)定義域（-∞,+∞）g(x)定義域(-∞,0)∪(0,+∞)

2、F(x)=xg(x)=

等。定義域均為（-∞,+∞），對應法則相同g(x)=F(x)

函數的表示方法：1、列表法：便于應用

2、圖像法：直觀性，便于對函數進行定性分析

3、解析法/公式法：用解析表達式表示函數的方法4解析表達式：對于自變量和常數施以四則運算、乘冪logaX、指數

分段函數：需用兩個或兩個以上的公式表示的函數

注意：

1、分段函數是由幾個公式合起來表示的一個函數2、其定義域是各段上x取值范圍的并集

3、在求函數值時，首先要根據x所在的區(qū)段，再用該區(qū)段的函數表達式

、取對數

、三角函數、反三角函數等數學運算所得到的式子

符號函數：f（x）=sgnx=1(x>0);定義域D=（-∞，+∞）0(x=0);值域W={-1,0,1}-1(x<0)

對于任何實數x，x=sgnx|x|

X的最大整數：設x為任一實數，不超過x的最大整數稱為x的最大整數，記作【x】Eg.[-3.5]=-4

取整函數：一般有[x]=n,當x∈[n,n+1],n=0,±1,±2…,把x看成變量，則函數f（x）=[x]稱為取整函數。定義域D=（-∞，+∞）,值域：整數集Z；圖形稱為階梯曲線，在x的整數值處發(fā)生跳躍，躍度為1

1.1.3函數的性質

1、奇偶性：設函數y=f（x）的定義域關于原點對稱：7偶函數：f（-x）=f（x），任x∈（-a,a）關于y軸對稱奇函數：若f（-x）=-f（x），任x∈（-a,a）eg.數

注意：

1、有些函數既不是奇函數，也不是偶函數。eg.f（x）=x+1驗x=±1時2、任一函數可為一個偶函數和奇函數的和。3、Y=0，即為奇函數，又為偶函數。2、單調性：單調遞增，單減

3、周期性：f（x+TO）=f（x）,最小正數TO，稱為f（x）的周期。Eg.tanx圖84、有界性：f（x）在D內有界，|f（x）|≤M。Eg.|sinx|≤1,M=1。必須同時有上下界。

所有反△函數都有有界性。

在閉區(qū)間[a,b]上的單調函數f（x）是[a,b]上的有界函數。

1.1.4反函數

反函數：函數y=f（x）與反函數x=函數y=f（x）與反函數y=

（y）圖形為同一曲線。（x）圖形關于y=x對稱。

奇次冪在-∞，+∞）為奇函

單調函數定有反函數，并與其函數有相同的單調性。Eg.Y=

y=

圖像。

擴展閱讀：考研數學之高等數學講義第一章(考點知識點+概念定理總結)

高等數學講義

目錄

第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章

函數、極限、連續(xù)1一元函數微分學24一元函數積分學49常微分方程70向量代數與空間解析幾何82多元函數微分學92多元函數積分學107無窮級數（數一和數三）129

第一章函數、極限、連續(xù)

1.1函數

(甲)內容要點一、函數的概念1．函數的定義2．分段函數二、基本初等函數的概念、性質和圖象三、復合函數與初等函數

四、考研數學中常出現的非初等函數

1．用極限表示的函數

(1)ylimfn(x)

n3．反函數4．隱函數

(2)ylimf(t,x)

tx2．用變上、下限積分表示的函數

(1)y(2)y則

xaf(t)dt

其中f(t)連續(xù)，則

dyf(x)dx2(x)1(x)f(t)dt

其中1(x),2(x)可導，f(t)連續(xù)，

dy(x)f[1(x)]1(x)f[2(x)]2dx五、函數的幾種性質

1．有界性：設函數yf(x)在X內有定義，若存在正數M，使xX都有f(x)M，則稱f(x)在X上是有界的。

2．奇偶性：設區(qū)間X關于原點對稱，若對xX，都有f(x)f(x)，則稱f(x)在X上是奇

函數。

若對xX，都有f(x)f(x)，則稱f(x)在X上是偶函數，奇函數的圖象關于原點對稱；偶函數圖象關于y軸對稱。

3．單調性：設f(x)在X上有定義，若對任意x1X,x2X，x1x2都有f(x1)f(x2)

[f(x1)f(x2)]則稱f(x)在X上是單調增加的[單調減少的]；若對任意x1X，

x2X,x1x2都有f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)]，則稱f(x)在X上是單調不減[單調不

增]

（注意：有些書上把這里單調增加稱為嚴格單調增加；把這里單調不減稱為單調增加。）

4．周期性：設f(x)在X上有定義，如果存在常數T0，使得任意xX，xTX，都有

f(xT)f(x)，則稱f(x)是周期函數，稱T為f(x)的周期。

由此可見，周期函數有無窮多個周期，一般我們把其中最小正周期稱為周期。

1.2極限

(甲)內容要點

一、極限的概念與基本性質1．極限的概念

(1)數列的極限limxnA

n(2)函數的極限limf(x)A；limf(x)A；limf(x)A

xxx

f(x)A；limf(x)Alimf(x)A；limxx0xx0xx0

2．極限的基本性質

定理1（極限的唯一性）設limf(x)A，limf(x)B，則A=B定理2（極限的不等式性質）設limf(x)A，limg(x)B若x變化一定以后，總有f(x)g(x)，則AB

反之，AB，則x變化一定以后，有f(x)g(x)（注：當g(x)0，B0情形也稱為極限的保號性）

定理3（極限的局部有界性）設limf(x)A則當x變化一定以后，f(x)是有界的。

定理4設limf(x)A，limg(x)B則（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）lim[f(x)g(x)]AB

（3）lim[f(x)g(x)]AB

（4）limf(x)A(B0)g(x)B（5）lim[f(x)]g(x)AB(A0)

二、無窮小

lim1．無窮小定義：若limf(x)0，則稱f(x)為無窮小（注：無窮小與x的變化過程有關，

當x時

10，xx11為無窮小，而xx0或其它時，不是無窮�。﹛x2．無窮大定義：任給M>0，當x變化一定以后，總有f(x)M，則稱f(x)為無窮大，記以

limf(x)。

3．無窮小與無窮大的關系：在x的同一個變化過程中，

若f(x)為無窮大，則

1為無窮小，f(x)1為無窮大。f(x)若f(x)為無窮小，且f(x)0，則4．無窮小與極限的關系：

limf(x)Af(x)A(x)，其中l(wèi)im(x)0

5．兩個無窮小的比較

設limf(x)0，limg(x)0，且limf(x)lg(x)（1）l0，稱f(x)是比g(x)高階的無窮小，記以f(x)o[g(x)]稱g(x)是比f(x)低階的無窮小

（2）l0，稱f(x)與g(x)是同階無窮小。

（3）l1，稱f(x)與g(x)是等階無窮小，記以f(x)~g(x)6．常見的等價無窮小，當x0時

sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1cosx~

3

12x，ex1~x，

ln(1x)~x，(1x)1~x。

7．無窮小的重要性質

有界變量乘無窮小仍是無窮小。

三、求極限的方法

1．利用極限的四則運算和冪指數運算法則2．兩個準則

準則1：單調有界數列極限一定存在

(1)若xn1xn（n為正整數）又xnm（n為正整數），則limxnA存在，且Am

n(2)若xn1xn（n為正整數）又xnM（n為正整數），則limxnA存在，且AM

n準則2：夾逼定理

設g(x)f(x)h(x)。若limg(x)A，limh(x)A，則limf(x)A3．兩個重要公式

公式1：limsinx1

x0x11n1u公式2：lim(1)e；lim(1)e；lim(1v)ve

nuv0nu4．用無窮小重要性質和等價無窮小代換

5．用泰勒公式（比用等價無窮小更深刻）（數學一和數學二）

x2xno(xn)當x0時，e1x2!n!xx3x5x2n1nsinxx(1)o(x2n1)

3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1(1)o(x2n)2!4!(2n)!nx2x3n1xln(1x)x(1)o(xn)23n2n1x3x5n1xarctanxx(1)o(x2n1)352n1(1x)1x6．洛必達法則

(1)2!x2(1)[(n1)]n!xno(xn)

法則1：（

0型）設（1）limf(x)0,limg(x)00（2）x變化過程中，f(x)，g(x)皆存在

f(x)（3）limA（或）

g(x)則limf(x)A（或）g(x)（注：如果lim形）法則2：（

f(x)f(x)不存在且不是無窮大量情形，則不能得出lim不存在且不是無窮大量情g(x)g(x)型）設（1）limf(x),limg(x)（2）x變化過程中，f(x)，g(x)皆存在（3）limf(x)A（或）g(x)則limf(x)A（或）g(x)

7．利用導數定義求極限

基本公式：limx0f(x0x)f(x0)f(x0)[如果存在]

x8．利用定積分定義求極限

11nk基本公式limf()f(x)dx

0nnnk1[如果存在]

9．其它綜合方法

10．求極限的反問題有關方法

1.3連續(xù)

(甲)內容要點一、函數連續(xù)的概念

1．函數在一點連續(xù)的概念

定義1若limf(x)f(x0)，則稱f(x)在點x0處連續(xù)。

xx0f(x)f(x0)，則稱函數f(x)在點x0處左連續(xù)；如果定義2設函數yf(x)，如果limxx0xx0limf(x)f(x0)，則稱函數f(x)在點x0處右連續(xù)。

如果函數yf(x)在點x0處連續(xù)，則f(x)在x0處既是左連續(xù)，又是右連續(xù)。2．函數在區(qū)間內（上）連續(xù)的定義

如果函數yf(x)在開區(qū)間（a,b）內的每一點都連續(xù)，則稱f(x)在(a,b)內連續(xù)。如果yf(x)在開區(qū)間內連續(xù)，在區(qū)間端點a右連續(xù)，在區(qū)間端點b左連續(xù)，則稱f(x)在閉

區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

二、函數的間斷點及其分類

1．函數的間斷點的定義

如果函數yf(x)在點x0處不連續(xù)，則稱x0為f(x)的間斷點。2．函數的間斷點分為兩類：（1）第一類間斷點

設x0是函數yf(x)的間斷點，如果f(x)在間斷點x0處的左、右極限都存在，則稱x0是

f(x)的第一類間斷點。

第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。（2）第二類間斷點

第一類間斷點以外的其他間斷點統稱為第二類間斷點。常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。例如：x0是f(x)窮間斷點，是f(x)sinsinx|x|1的可去間斷點，是f(x)的跳躍間斷點，是f(x)的無xxx1的振蕩間斷點。x

三、初等函數的連續(xù)性

1．在區(qū)間I連續(xù)的函數的和、差、積及商（分母不為零），在區(qū)間I仍是連續(xù)的。2．由連續(xù)函數經有限次復合而成的復合函數在定義區(qū)間內仍是連續(xù)函數。3．在區(qū)間I連續(xù)且單調的函數的反函數，在對應區(qū)間仍連續(xù)且單調。4．基本初等函數在它的定義域內是連續(xù)的。5．初等函數在它的定義區(qū)間內是連續(xù)的。

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數f(x)，有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。定理1（有界定理）如果函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)必在[a,b]上有界。

定理2（最大值和最小值定理）如果函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值M和最小值m.

其中最大值M和最小值m的定義如下：

定義設f(x0)M是區(qū)間[a,b]上某點x0處的函數值，如果對于區(qū)間[a,b]上的任一點x，總有f(x)M，則稱M為函數f(x)在[a,b]上的最大值。同樣可以定義最小值m.

定理3（介值定理）如果函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和

m，則對于介于m和M之間的任何實數c，在[a,b]上至少存在一個，使得

f()c

推論：如果函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則在(a,b)內至少存在一個點，使得

f()0

這個推論也稱零點定理。

思考題：什么情況下能保證推論中的是唯一的？

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