高中數學第十四章知識點總結(精華版) 導 數

高中數學第十四章導數

考試內容：導數的背影．導數的概念．

多項式函數的導數．

利用導數研究函數的單調性和極值．函數的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導數概念的某些實際背景．（2）理解導數的幾何意義．

（3）掌握函數，y=c(c為常數)、y=xn(n∈N+)的導數公式，會求多項式函數的導數．

（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數求多項式函數的單調區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．

（5）會利用導數求某些簡單實際問題的最大值和最小值．

14.導數知識要點導數的概念導數的幾何意義、物理意義常見函數的導數導數的運算法則函數的單調性函數的極值函數的最值導數導數的運算導數的應用1.導數（導函數的簡稱）的定義：設x0是函數yf(x)定義域的一點，如果自變量x在x0處有增量x，則函數值y也引起相應的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極限xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數yf(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做limx0xx0xlimyf(x)在x0處的導數，記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因為x可正，可負，但不為零.

②以知函數yf(x)定義域為A，yf"(x)的定義域為B，則A與B關系為AB.2.函數yf(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導的關系：⑴函數yf(x)在點x0處連續(xù)是yf(x)在點x0處可導的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點x0處可導，那么yf(x)點x0處連續(xù).事實上，令xx0x，則xx0相當于x0.

于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0x0xx⑵如果yf(x)點x0處連續(xù)，那么yf(x)在點x0處可導，是不成立的.lim[例：f(x)|x|在點x00處連續(xù)，但在點x00處不可導，因為yyy不存在.1；當x＜0時，1，故limx0xxxy|x|，當x＞0時，xx注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.

②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3.導數的幾何意義：

函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為yy0f"(x)(xx0).

4.求導數的四則運算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數）

vu"v"uu(v0)v2v"注：①u,v必須是可導函數.

②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、

積、商不一定不可導.

22例如：設f(x)2sinx，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導，但它們和

xxf(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導.

5.復合函數的求導法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數單調性：

⑴函數單調性的判定方法：設函數yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f"(x)＞0，則yf(x)為增函數；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數.⑵常數的判定方法；如果函數yf(x)在區(qū)間I內恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數.

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極大值，極小值同理）

當函數f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側f"(x)＞0，右側f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f"(x)＜0，右側f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數異號，而不是f"(x)=0.此外，函數不

①

可導的點也可能是函數的極值點.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮翟谀骋稽c附近的點不同）.

②

注①：若點x0是可導函數f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導函數，其一點x0是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點.

②例如：函數yf(x)|x|，在點x0處不可導，但點x0是函數的極小值點.

8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.

注：函數的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數導數：

"I.C"0（C為常數）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2

(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arccosx)"11x2

1"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logae

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求導的常見方法：①常用結論：(ln|x|)"1.x1x②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y求代數和形式.

(xa1)(xa2)...(xan)兩邊同取自然對數，可轉化

(xb1)(xb2)...(xbn)③無理函數或形如yxx這類函數，如yxx取自然對數之后可變形為lnyxlnx，對兩邊

y"1求導可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx

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高中數學第一章-集合

榆林教學資源網考試內容：

集合、子集、補集、交集、并集．

邏輯聯結詞．四種命題．充分條件和必要條件．考試要求：榆林教學資源網

（1）理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包含、相等關系的意義；掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合．（2）理解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關系；掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義．

01.集合與簡易邏輯知識要點

一、知識結構:

本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法（集合化簡）、簡易邏輯三部分：

二、知識回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.集合的性質：

①任何一個集合是它本身的子集，記為AA；②空集是任何集合的子集，記為A；③空集是任何非空集合的真子集；如果AB，同時BA，那么A=B.如果AB，BC，那么AC.

[注]：①Z={整數}（√）Z={全體整數}（）

②已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.（）（例：S=N；A=N，則CsA={0}）③空集的補集是全集.

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④若集合A=集合B，則CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：CAB=）.3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐標軸上的點集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R

二、四象限的點集.

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的點集.[注]：①對方程組解的集合應是點集.例：xy3解的集合{(2，1)}.

2x3y1②點集與數集的交集是.（例：A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}則A∩B=）4.①n個元素的子集有2n個.②n個元素的真子集有2n－1個.③n個元素的非空真子

集有2n－2個.

5.①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.例：①若ab5，則a2或b3應是真命題.

解：逆否：a=2且b=3，則a+b=5，成立，所以此命題為真.②x1且y2，xy3.解：逆否：x+y=3

x1且y2x=1或y=2.

xy3,故xy3是x1且y2的既不是充分，又不是必要條件.

小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.3.例：若x5，x5或x2.4.集合運算：交、并、補.

交：AB{x|xA,且xB}并：AB{x|xA或xB}補：CUA{xU,且xA}5.主要性質和運算律（1）包含關系：

AA,A,AU,CUAU,AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.（2）等價關系：ABABAABBCUABU（3）集合的運算律：

交換律：ABBA;ABBA.

結合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)分配律:.A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)0-1律：A,AA,UAA,UAU

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等冪律：AAA,AAA.

求補律：A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φCUφ=U

反演律：CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)

6.有限集的元素個數

定義：有限集A的元素的個數叫做集合A的基數，記為card(A)規(guī)定card(φ)=0.

基本公式：

(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)(2)card(ABC)card(A)card(B)card(C)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)(3)card(UA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法（零點分段法）

①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的討論.00二次函數0yax2bxc（a0）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根ax2bxc0a0的根x1,x2(x1x2)bx1x22a第3頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集xxx或xx12bxx2aRxx1xx2

2.分式不等式的解法（1）標準化：移項通分化為

f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或吃得苦中苦方為人上人！

5、四種命題之間的相互關系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系：(原命題逆否命題)①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。②、原命題為真，它的否命題不一定為真。③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。若pq且qp,則稱p是q的充要條件，記為pq.

7、反證法：從命題結論的反面出發(fā)（假設），引出(與已知、公理、定理)矛盾，從而否定假設證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數學第二章-函數

考試內容：

映射、函數、函數的單調性、奇偶性．反函數．互為反函數的函數圖像間的關系．

指數概念的擴充．有理指數冪的運算性質．指數函數．對數．對數的運算性質．對數函數．函數的應用．考試要求：

（1）了解映射的概念，理解函數的概念．

（2）了解函數單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法．（3）了解反函數的概念及互為反函數的函數圖像間的關系，會求一些簡單函數的反函數．（4）理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函數的概念、圖像和性質．

（5）理解對數的概念，掌握對數的運算性質；掌握對數函數的概念、圖像和性質．（6）能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題．

02.

一、本章知識網絡結構：

定義F:AB反函數映射函數具體函數一般研究圖像性質二次函數指數指數函數對數對數函數函數知識要點

二、知識回顧：

第5頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

（一）映射與函數1.映射與一一映射

2.函數

函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數.3.反函數

反函數的定義

設函數

yf(x)(xA)的值域是C，根據這個函數中x,y的關系，用y把x表

示出，得到x=(y).若對于y在C中的任何一個值，通過x=(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數x=(y)(yC)叫做函數

yf(x)(xA)的反函數，記作xf1(y),習慣上改寫成

yf1(x)

（二）函數的性質⒈函數的單調性

定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,若當x1吃得苦中苦方為人上人！

正確理解奇、偶函數的定義。必須把握好兩個問題：（1）定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件；（2）f(x)f(x)或f(x)f(x)是定義域上的恒等式。2．奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形，偶函數的圖象關于y軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性。3.奇函數在對稱區(qū)間同增同減；偶函數在對稱區(qū)間增減性相反.4．如果f(x)是偶函數，則f(x)f(|x|)，反之亦成立。若奇函數在x0時有意義，則f(0)0。

7.奇函數，偶函數：偶函數：f(x)f(x)

設（a,b）為偶函數上一點，則（a,b）也是圖象上一點.偶函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于y軸對稱，例如：yx21在[1,1)上不是偶函數.②滿足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0時，奇函數：f(x)f(x)

設（a,b）為奇函數上一點，則（a,b）也是圖象上一點.奇函數的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關于原點對稱，例如：yx3在[1,1)上不是奇函數.②滿足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0時，

y軸對稱8.對稱變換：①y=f（x）yf（x）f(x)1.f(x)f(x)1.f(x)x軸對稱②y=f（x）yf（x）③y=f（x）原點對稱yf（x）9.判斷函數單調性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：

(x1x2)f(x)f(x)x2b2x2b2（x1x2）121222xxb2x1b2在進行討論.

10.外層函數的定義域是內層函數的值域.例如：已知函數f（x）=1+

x的定義域為A，函數f[f（x）]的定義域是B，則集合A與1xBA集合B之間的關系是.

解：f(x)的值域是f(f(x))的定義域B，f(x)的值域R，故BR，而Ax|x1，故BA.

11.常用變換：

①f(xy)f(x)f(y)f(xy)f(x).f(y)第7頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

證：f(xy)xyf(y)f(x)f[(xy)y]f(xy)f(y)f(x)②f()f(x)f(y)f(xy)f(x)f(y)證：f(x)f(y)f()f(y)12.熟悉常用函數圖象：

1例：y2→|x|關于y軸對稱.y2|x|▲▲xyxy|x2|11→y→y22▲|x||x2|

yyy(0,1)x(-2,1)xx

y|2x2x1|→|y|關于x軸對稱.

2

▲y

熟悉分式圖象：

2x17例：y定義域{x|x3,xR}，2x3x3值域{y|y2,yR}→值域x前的系數之比.（三）指數函數與對數函數

指數函數圖象x▲y2x3yax(a0且a1)的圖象和性質

00時，y>1;x吃得苦中苦方為人上人！

a>1對數函數y=logax的圖象和性質:對數運算：

0吃得苦中苦方為人上人！

yy=logaxa>1圖象Oxx=1a0（5）在（0，+∞）上是增函數

x(1,)時y0在（0，+∞）上是減函數注：當a,b0時，log(ab)log(a)log(b).

：當M0時，取“+”，當n是偶數時且M0時，Mn0，而M0，故取“”.

2例如：logax2logax(2logax中x＞0而logax2中x∈R）.

yax（a0,a1）與ylogax互為反函數.

當a1時，ylogax的a值越大，越靠近x軸；當0a1時，則相反.

（四）方法總結

.相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同.對數運算：

第10頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

loga(MN)logaMlogaN(1)logaMlogaMlogaNN1logaMn

logaMnnlogaM12)loganMalogaNNlogbNlogba換底公式：logaN推論：logablogbclogca1loga1a2loga2a3...logan1anloga1an（以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且1）

注：當a,b0時，log(ab)log(a)log(b).

：當M0時，取“+”，當n是偶數時且M0時，Mn0，而M0，故取“”.例如：logax22logax(2logax中x＞0而logax2中x∈R）.yax（a0,a1）與ylogax互為反函數.

當a1時，ylogax的a值越大，越靠近x軸；當0a1時，則相反.

.函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法.

.反函數的求法：先解x,互換x、y，注明反函數的定義域(即原函數的值域)..函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數的定義域.常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小于0；③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1；④零指數冪的底數不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等.

.函數值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法.

.單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較.

.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關系：①f(-x)=f(x)為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數.

第11頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

.圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象.

高中數學第三章數列

考試內容：數列．

等差數列及其通項公式．等差數列前n項和公式．等比數列及其通項公式．等比數列前n項和公式．考試要求：

（1）理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項．

（2）理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題．

（3）理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實際問題．

03.數列知識要點數列的定義項數列的有關概念項數數列數列的通項通項數列與函數的關系等比數列的定義等差數列的定義等比數列的通項等差數列的通項等比數列等差數列等比數列的性質等差數列的性質等比數列的前n項和等差數列的前n項和定義遞推公式等差數列an1andanan1d；anamnmd等比數列an1q(q0)ananan1q；anamqnm第12頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

通項公式中項ana1(n1)dana1qn1（a1,q0）Aankank2Gankank(ankank0)（n,kN*,nk0）前n項和Snn(a1an)2n(n1)d2（n,kN*,nk0）na1(q1)Sna11qna1anq(q2)1q1qSnna1重要性質*amanapaq(m,n,p,qN,mnpq)1.等差、等比數列：定義等差數列amanapaq(m,n,p,qN*,mnpq)等比數列{an}為APan1and(常數）{an}為GPan1anq(常數）通項公式求和公式（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-dana1qn1akqnkan=a1+n(a1an)n(n1)na1d22d2dn(a1)n22snA=(q1)na1sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1q中項公式ab2推廣：2an=anmanmG2ab。推廣：ananmanm2若m+n=p+q，則amanapaq。若{kn}成等比數列（其中knN），則{akn}成等比數列。性質1若m+n=p+q則aaaamnpq2若{k}成A.P（其中knN）則{akn}n也為A.P。34．sn,s2nsn,s3ns2n成等差數列。sn,s2nsn,s3ns2n成等比數列。aa1amandn(mn)n1mnqn1ana1，qnmanam(mn)5

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看數列是不是等差數列有以下三種方法：①anan1d(n2,d為常數)②2anan1an1(n2)③anknb(n,k為常數).

看數列是不是等比數列有以下四種方法：①anan1q(n2,q為常數,且0)

2②anan1an1(n2，anan1an10)

①

注①：i.bac，是a、b、c成等比的雙非條件，即bacii.bac（ac＞0）→為a、b、c等比數列的充分不必要.iii.bac→為a、b、c等比數列的必要不充分.iv.bac且ac0→為a、b、c等比數列的充要.

a、b、c等比數列.

注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.③ancqn(c,q為非零常數).

④正數列{an}成等比的充要條件是數列{logxan}（x1）成等比數列.

s1a1(n1)a數列{an}的前n項和Sn與通項an的關系：n

ss(n2)nn1[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若d不為0，則是等差數列充分條件）.ddd②等差{an}前n項和SnAn2Bnn2a1n→可以為零也可不為零→為等差

222的充要條件→若d為零，則是等差數列的充分條件；若d不為零，則是等差數列的充分條件.

③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）．．2.①等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的k2倍Sk,S2kSk,S3kS2k...；

②若等差數列的項數為2nnN，則S偶S奇nd，S奇S偶anan1；

S偶nn1③若等差數列的項數為2n1nN，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇代入n到2n1得到所求項數.3.常用公式：①1+2+3+n=②122232n2nn12nn12n1

6第14頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

nn1③132333n322[注]：熟悉常用通項：9，99，999，…an10n1；5，55，555，…an5n101.94.等比數列的前n項和公式的常見應用題：

生產部門中有增長率的總產量問題.例如，第一年產量為a，年增長率為r，則每年的產量成等比數列，公比為1r.其中第n年產量為a(1r)n1，且過n年后總產量為：

2n1aa(1r)a(1r)...a(1r)a[a(1r)n].

1(1r)銀行部門中按復利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存a元，利息為r，每月利息按復利計算，則每月的a元過n個月后便成為a(1r)n元.因此，第二年年初可存款：

121110a(1r)a(1r)a(1r)a(1r)[1(1r)12]....a(1r)=

1(1r)分期付款應用題：a為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；r為年利率.

a1rx1rmm1x1rm2......x1rxa1rmx1rm1ar1rmxmr1r15.數列常見的幾種形式：

an2pan1qan（p、q為二階常數）用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程x2Pxq（x2對應an2，x對應an1），并設二根x1,x2②若x1x2nn可設an.c1xn1c2x2，若x1x2可設an(c1c2n)x1；③由初始值a1,a2確定c1,c2.

anPan1r（P、r為常數）用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2確定.

①轉化等差，等比：an1xP(anx)an1PanPxxx②選代法：anPan1rP(Pan2r)ran(a1Pn1a1Pn2rPrr.

r.P1rr)Pn1(a1x)Pn1xP1P1③用特征方程求解：

an1Panr（P1）anPan1.an1anPanPan1an1相減，anPan1r④由選代法推導結果：c1rrrr.，c2a1，anc2Pn1c1（a1）Pn11PP1P11P6.幾種常見的數列的思想方法：

第15頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

等差數列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：

一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Snd2dn(a1)n利用二次函數的性質求n22的值.

如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前n項和可依

111照等比數列前n項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第

一個相同項，公差是兩個數列公差d1，d2的最小公倍數.

2.判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證anan1(an)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

am03.在等差數列｛an｝中,有關Sn的最值問題：(1)當a1>0,d吃得苦中苦方為人上人！

5）

1111111()

n(n1)nn1n(n2)2nn21111()(pq)pqqppq6）

高中數學第四章-三角函數

考試內容：

角的概念的推廣．弧度制．

任意角的三角函數．單位圓中的三角函數線．同角三角函數的基本關系式.正弦、余弦的誘導公式．

兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函數、余弦函數的圖像和性質．周期函數．函數y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數的圖像和性質．已知三角函數值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考試要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式；了解周期函數與最小正周期的意義．（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明．

（5）理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A.ω、φ的物理意義．

（6）會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinx\\arc-cosx\\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形．

（8）“同角三角函數基本關系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanαcosα=1”．

04.三角函數知識要點

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ④終邊在坐標軸上的角的集合：|k90,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函數值大小關系圖第17頁共75頁1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域吃得苦中苦方為人上人！

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

⑦若角與角的終邊關于x軸對稱，則角與角的關系：360k⑧若角與角的終邊關于y軸對稱，則角與角的關系：360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：180k⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：360k902.角度與弧度的互換關系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.

、弧度與角度互換公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧長公式：l||r.扇形面積公式：s扇形11lr||r222ya的終邊P（x,y)r4、三角函數：設是一個任意角，在的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則siny；ryxcos；tanxr；cotx；secr；.cscr.yxyox5、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

6、三角函數線

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.

7.三角函數的定義域：

16.幾個重要結論:(1)y(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o吃得苦中苦方為人上人！

f(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函數的基本關系式：sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、誘導公式：

把k的三角函數化為的三角函數，概括為：2“奇變偶不變，符號看象限”三角函數的公式：（一）基本關系

公式組一公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx22x=cosxsecx=11+tanx=secxtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

coscos()coscossinsinsin22sinsco2ssi2n2co2s112si2ncos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan1tantan21cos1cossintan()公式組三公式組四1公式組五sincossinsin21第19頁共75頁cossinsinsin21coscoscoscos吃得苦中苦方為人上人！

2tansin21tan21tan2cos1tan22

1cos()sin21sin()cos21tan()cot21cos()sin21tan()cot222sinsin2sin2cos2sin222tan2coscos2coscostan2211tan2sin()coscoscos2sinsin222262,tan15cot7523,tan75cot1523.62,sin75cos15sin15cos75sinsin2cos44

10.正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質：定義域值域周期性奇偶性單調性ysinxR[1,1]ycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx（A、＞0）RRA,A22奇函數2偶函數奇函數奇函數當0,非奇非偶當0,奇函數2k2k2(A),12(A)[22k,[2k1,；k,k22k]2k,k1上為減函數（kZ）22k]上為增函數；[上為增函數[2k,2k1]上為減函數（kZ）上為增函數（kZ）232k]22k,上為增函數；2k上為減函數（kZ）2(A),32k2(A)上為減函數（kZ）注意：①ysinx與ysinx的單調性正好相反；ycosx與ycosx的單調性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲y第20頁共75頁xO吃得苦中苦方為人上人！

②ysinx與ycosx的周期是.

x)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(ytan2.

x的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

2x)的對稱軸方程是xk④ysin(2（kZ），對稱中心（k,0）；ycos(x)的

k對稱軸方程是xk（kZ），對稱中心（k1,0）；yt（.an(x)的對稱中心,0）

22ycos2x原點對稱ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤當tan

2tan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx與ysinx2k是同一函數,而y(x)是偶函數，則

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函數ytanx在R上為增函數.（×）[只能在某個單調區(qū)間單調遞增.若在整個定義域，

ytanx為增函數，同樣也是錯誤的].

⑧定義域關于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數：f(x)f(x)，奇函數：f(x)f(x)）

1奇偶性的單調性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數，ytan(x)是非奇非偶.（定

3義域不關于原點對稱）

奇函數特有性質：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無此性質）

▲⑨ysinx不是周期函數；ysinx為周期函數（T）；ycosx是周期函數（如圖）；ycosx為周期函數（T）；y▲yx1/2xy=cos|x|圖象1ycos2x的周期為（如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如：

2y=|cos2x+1/2|圖象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cosb有a2b2y.a11、三角函數圖象的作法：

１）、幾何法：

２）、描點法及其特例五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切

第21頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數圖象．

三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，頻率f1||，相位x;初相||T2（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號），

由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx

替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

4、反三角函數：函數y＝sinx，的反函數叫做反正弦函數，記作x2，222y＝arcsinx，它的定義域是［－1，

1］，值域是－，．

函數y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函數叫做反余弦函數，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數y＝tanx，記作的反函數叫做反正切函數，x2，222y＝arctanx，它的定義域是（－

∞，＋∞），值域是，．

函數y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數叫做反余切函數，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II.競賽知識要點

一、反三角函數.

1.反三角函數：反正弦函數yarcsinx是奇函數，故arcsin(x)arcsinx，x1,1（一定要注明定義域，若x,，沒有x與y一一對應，故ysinx無反函數）

第22頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

注：sin(arcsinx)x，x1,1，arcsinx,.

22反余弦函數yarccosx非奇非偶，但有arccos(x)arccos(x)2k，x1,1.注：①cos(arccosx)x，x1,1，arccosx0,.

②ycosx是偶函數，yarccosx非奇非偶，而ysinx和yarcsinx為奇函數.反正切函數：yarctanx，定義域(,)，值域（arctan(x)arctanx，x(,).

,），yarctanx是奇函數，22注：tan(arctanx)x，x(,).

反余切函數：yarccotx，定義域(,)，值域（,），yarccotx是非奇非22偶.

arccot(x)arccot(x)2k，x(,).注：①cot(arccotx)x，x(,).

1x)互為奇函數，yarctanx同理為奇而yarccosx與yarccotx②yarcsinx與yarcsin(非奇非偶但滿足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].正弦、余弦、正切、余切函數的解集：

a的取值范圍解集a的取值范圍解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a＞1a＞1

a=1x|x2karcsina,kZa=1x|x2karccosa,kZ

a＜1

x|xk1karcsina,kZ

a＜1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集：x|xkarctana,kZ③cotxa的解集：x|xkarccota,kZ

二、三角恒等式.

sin2n1組一ncoscos2cos4...cos2n12sin

組二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2cos2k1nkcos2cos4cos8cos2nsin2nsin2n

k0nncos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)sin((n1)d)cos(xnd)

sindsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)k0sin((n1)d)sin(xnd)

sind第23頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

tan()tantantantantantan

1tantantantantantan組三三角函數不等式

sinx＜x＜tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是減函數x若ABC，則x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高中數學第五章-平面向量

考試內容：

向量．向量的加法與減法．實數與向量的積．平面向量的坐標表示．線段的定比分點．平面向量的數量積．平面兩點間的距離、平移．考試要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．（2）掌握向量的加法和減法．

（3）掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．（5）掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

（6）掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用掌握平移公式．

05.平面向量知識要點

1.本章知識網絡結構

2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法AB；字母表示：a；坐標表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.

(3)向量的長度：即向量的大小，記作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.

x1x2(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

yy21(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.

第24頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

3.向量的運算運算類型幾何方法坐標方法運算性質abba向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則ab(x1x2,y1y2)(ab)ca(bc)ABBCAC向量的減法三角形法則ab(x1x2,y1y2)aba(b)ABBA,OBOAAB1.a是一個向量,滿數乘向量足:|a||||a|2.>0時,a與a同向;1圖吃得苦中苦方為人上人！

OP＝

xy11＋OPOP2(線段的定比分點的向量公式)111x1x2,1(線段定比分點的坐標公式)y1y2.1當λ＝1時，得中點公式：

x1x2x,12OP＝（OP1＋OP2）或yy22y1.2(5)平移公式

設點P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到點P′（x′，y′），則OP＝OP+a或xxh,

yyk.曲線y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲線的函數解析式為：

y－ｋ＝f（x－ｈ)

(6)正、余弦定理正弦定理：

abc2R.sinAsinBsinC2

22

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，222

b＝c＋a－2cacosB，222

c＝a＋b－2abcosC.

（7）三角形面積計算公式：

設△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、內切圓的半徑為R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R

④S△=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA⑤S△=PPaPbPc[海倫公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下圖]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

A[注]：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內心，其余3個是旁心.如圖：AAEcAcbbOacDBNbCFBEDBaCrFIrCraEIaaaFCB圖2圖3圖4

圖1中的I為S△ABC的內心，S△=Pr

第26頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

圖2中的I為S△ABC的一個旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.

旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點.

已知⊙O是△ABC的內切圓，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s為△ABC的半周長,即

abc]2則：①AE=sa=1/2（b+c-a）②BN=sb=1/2（a+c-b）③FC=sc=1/2（a+b-c）

綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）.

abcab特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內切圓半徑r=（如圖3）.2abc在△ABC中，有下列等式成立tanAtanBtanCtanAtanBtanC.tanAtanB證明：因為ABC,所以tanABtanC，所以tanC，結論！

1tanAtanBAC2BDAB2BCBDDC.在△ABC中，D是BC上任意一點，則ADBC2證明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2AB2BD22ABBDcosB①

AB2BC2AC2②，②代入①，化簡在△ABC中，由余弦定理有cosB2ABBCAC2BDAB2BCBDDC（斯德瓦定理）可得，ADBC2A圖5①若AD是BC上的中線，ma②若AD是∠A的平分線，ta③若AD是BC上的高，ha△ABC的判定：

2a12b22c2a2；2DC2Bbcppa，其中p為半周長；bcppapbpc，其中p為半周長.

c2a2b2△ABC為直角△∠A+∠B=

2c2＜a2b2△ABC為鈍角△∠A+∠B＜c2＞a2b2△ABC為銳角△∠A+∠B＞

22222附：證明：cosCabc，得在鈍角△ABC中，cosC0a2b2c20,a2b2c2

2ab平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.

ab2ab22(a2b2)

第27頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

空間向量

1．空間向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個平移就是一個向量向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示2．空間向量的運算

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下

OBOAABabBAOAOBab

OPa(R)

運算律：加法交換律：abba

加法結合律：(ab)ca(bc)

數乘分配律：(ab)ab

3共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平

行向量．a平行于b記作a//b．

當我們說向量a、b共線（或a//b）時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是

同一直線，也可能是平行直線．4．共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間任意兩個向量a、b（b≠0），a//b的充要條件是存在實數λ，

使a＝λb.

推論：如果l為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對于任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t滿足等式

OPOAta．

其中向量a叫做直線l的方向向量.5．向量與平面平行：

已知平面和向量a，作OAa，如果直線OA平行于或在內，那么我們說向量a平行于平面，記作：a//．

通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的6．共面向量定理：

如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實數x,y使

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pxaybMPxMAyMB或對空間任一點O，有OPOMxMAyMB①

①式叫做平面MAB的向量表達式推論：空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是存在有序實數對x,y，使

7空間向量基本定理：

如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組

x,y,z，使pxaybzc推論：設O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個

有序實數x,y,z，使OPxOAyOBzOC8空間向量的夾角及其表示：

已知兩非零向量a,b，在空間任取一點O，作OAa,OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b；且規(guī)定0a,b，顯然有a,bb,a；若

a,b，則稱a與b互相垂直，記作：ab.

29．向量的模：

設OAa，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：|a|.10．向量的數量積：ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和軸l，e是l上與l同方向的單位向量，作點A在l上的射影A，

作點B在l上的射影B，則AB叫做向量AB在軸l上或在e上的正射影.

AB可以證明的長度|AB||AB|cosa,e|ae|．

11．空間向量數量積的性質：

2（1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|aa．

12．空間向量數量積運算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（交換律）（3）a(bc)abac（分配律）．

空間向量的坐標運算

一．知識回顧：

（1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.

第29頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

①令a=(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)，則ab(a1b1,a2b2,a3b3)a(a1,a2,a3)(R)aba1b1a2b2a3b3

a∥ba1b1,a2b2,a3b3(R)a1a2a3aba1b1a2b2a3b30b1b2b3aaaa12a22a32(用到常用的向量模與向量之間的轉化：a2aaaaa)

a1b1a2b2a3b3abcosa,b222222|a||b|a1a2a3b1b2b3②空間兩點的距離公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.

（2）法向量：若向量a所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中A，則點B到平面的距離為|ABn||n|.

②利用法向量求二面角的平面角定理：設n1,n2分別是二面角l中平面,的法向量，則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大�。╪1,n2方向相同，則為補角，n1,n2反方，則為其夾角）.

③證直線和平面平行定理：已知直線a平面，ABa,CD，且CDE三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序實數對使ABCDCE.（常設ABCDCE求解,若,存在即證畢，若,不存在，則直線AB與平面相交）.

An▲BBCA▲n1CDEn2

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高中數學第六章-不等式

考試內容：

不等式．不等式的基本性質．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式．考試要求：

（1）理解不等式的性質及其證明．

（2）掌握兩個（不擴展到三個）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單的應用．

（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．（4）掌握簡單不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

06.不等式知識要點

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）號的定義：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.

（4）同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質

（1）abba（對稱性）

（2）ab,bcac（傳遞性）

（3）abacbc（加法單調性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（異向不等式相減）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法單調性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdabcd（異向不等式相除）

(10)ab,ab011（倒數關系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法則）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當僅當a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數，那么abab.（當僅當a=b時取等號）

2極值定理：若x,yR,xyS,xyP,則：1如果P是定值,那么當x=y時，S的值最小；○

2如果S是定值,那么當x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,則abc3abc（當僅當a=b=c時取等號）3第31頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

ba(5)若ab0,則2（當僅當a=b時取等號）

ab(6)a0時，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|4.幾個著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數，那么

211abababa2b2（當僅當

.22a=b時

取等號）即：平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（a、b為正數）：

2222abababab22特別地，ab(（當a=b時，())ab）

2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc時取等)3322...an冪平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).

1111111常用不等式的放縮法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa當且僅當123n時取等號b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)

（3）琴生不等式（特例）與凸函數、凹函數

若定義在某區(qū)間上的函數f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22則稱f(x)為凸（或凹）函數.

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.

（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）無理不等式：轉化為有理不等式求解

第32頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

○1f(x)g(x)g(x)0定義域

f(x)g(x)f(x)0○2

f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（4）.指數不等式：轉化為代數不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）對數不等式：轉化為代數不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含絕對值不等式

1應用分類討論思想去絕對值；○2應用數形思想；○

3應用化歸思想等價轉化○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同時為0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法舉例（x為正數）：①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792類似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③|x1||x||1|(x與1同號，故取等)2

22xxx第33頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

高中數學第七章-直線和圓的方程

考試內容：

直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式．直線方程的一般式．兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點到直線的距離．用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡單的線性規(guī)劃問題．曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程．圓的標準方程和一般方程．圓的參數方程．考試要求：

（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程．

（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系．（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應用．（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標法．

（6）掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念。理解圓的參數方程．

07.直線和圓的方程知識要點

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是0180(0).

注：①當90或x2x1時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地，當直線經過兩點(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b(a0,b0)時，直線方程是：注：若yyxy1.ab22x2是一直線的方程，則這條直線的方程是yx2，但若332x2(x0)則不是這條線.3附：直線系：對于直線的斜截式方程ykxb，當k,b均為確定的數值時，它表示一條確定

的直線，如果k,b變化時，對應的直線也會變化.①當b為定植，k變化時，它們表示過定點（0，b）的直線束.②當k為定值，b變化時，它們表示一組平行直線.3.兩條直線平行：

l1∥l2k1k2兩條直線平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個—前提‖都會導致結論的錯誤.

（一般的結論是：對于兩條直線l1,l2，它們在y軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2k1k2，

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且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分條件，且C1C2）推論：如果兩條直線l1,l2的傾斜角為1,2則l1∥l212.兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l(wèi)1l2k1k21這里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要條件）

4.直線的交角：

直線l1到l2的角（方向角）；直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點依逆時針方向旋轉到與l2重合時所轉動的角，它的范圍是(0,)，當90時tank2k1.

1k1k2兩條相交直線l1與l2的夾角：兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四

個角中最小的正角，又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是0,2，當90，則有

tank2k1.

1k1k2l1:A1xB1yC10的交點的直線系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(l:AxByC022225.過兩直線為參數，A2xB2yC20不包括在內）

6.點到直線的距離：

點到直線的距離公式：設點P(x0,y0)，直線l:AxByC0,P到l的距離為d，則有

dAx0By0CAB22.

注：

1.兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：點P(x,y)到原點O的距離：|OP|x2y22.定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段PP,其中12所成的比為即PP1PP2x1x2yy2,y111特例，中點坐標公式；重要結論，三角形重心坐標公式。

3.直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan

P1(x1,y1),P2(x2,y2).則x4.過兩點Pk1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式：當x1y2y1.

x2x1(x1x2)

x2,y1y2（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角＝90，沒有斜率王新敞

兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，

第35頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

它們之間的距離為d，則有dC1C2AB22.

注；直線系方程

1.與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(mR,C≠m).2.與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(mR)

3.過定點（x1,y1）的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)

4.過直線l1、l2交點的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λR）注：該直線系不含l2.

7.關于點對稱和關于某直線對稱：

關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.

注：①曲線、直線關于一直線（yxb）對稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x,y)=0關于直線y=x2對稱曲線方程是f(y+2,x2)=0.

②曲線C:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線方程是f(ax,2by)=0.二、圓的方程.

1.曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線C上的與一個二元方程f(x,y)0的實數建立了如下關系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

曲線和方程的關系，實質上是曲線上任一點M(x,y)其坐標與方程f(x,y)0的一種關系，曲線上任一點(x,y)是方程f(x,y)0的解；反過來，滿足方程f(x,y)0的解所對應的點是曲線上的點.

注：如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標準方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是：x2y2r2.

注：特殊圓的方程：①與x軸相切的圓方程(xa)2(yb)2b2[rb,圓心(a,b)或(a,b)]②與y軸相切的圓方程(xa)2(yb)2a2[ra,圓心(a,b)或(a,b)]③與x軸y軸都相切的圓方程(xa)2(ya)2a2[ra,圓心(a,a)]3.圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

DE當DE4F0時，方程表示一個圓，其中圓心C,，半徑r2222D2E24F.

2第36頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

當D2E24F0時，方程表示一個點DE,.22當D2E24F0時，方程無圖形（稱虛圓）.

xarcos注：①圓的參數方程：（為參數）.

ybrsin②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：B0且AC0且

D2E24AF0.

③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.點和圓的位置關系：給定點M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圓C內(x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r25.直線和圓的位置關系：

設圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離d①dr時，l與C相切；

22xyD1xE1yF10附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.

22xyDxEyF0222AaBbCAB22.

②dr時，l與C相交；

C1:x2y2D1xE1yF10附：公共弦方程：設

C2:x2y2D2xE2yF20

有兩個交點，則其公共弦方程為(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.

③dr時，l與C相離.

22xyD1xE1yF10附：若兩圓相離，則相減為圓心O1O2的連線的中與線方程.

22xyD2xE2yF20(xa)2(yb)2r2由代數特征判斷：方程組用代入法，得關于x（或y）的一元二次方

AxBxC0程，其判別式為，則：

0l與C相切；0l與C相交；0l與C相離.

注：若兩圓為同心圓則x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20相減，不表示直

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線.

6.圓的切線方程：圓x2y2r2的斜率為k的切線方程是ykx1k2r過圓

x2y2DxEyF0

上一點P(x0,y0)的切線方程為：x0xy0yDxx0yy0EF0.22①一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特別地，過圓x2y2r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，聯立求出k切線方程.B②若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則RR21ACD(a,b)7.求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知O的方程x2y2DxEyF0…①又以ABCD為圓為方程為

(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2…②

(xAa)2(yAb)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.R42

三、曲線和方程

1.曲線與方程：在直角坐標系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：1）曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2.求曲線方程的方法：.

1）直接法：建系設點，列式表標,簡化檢驗;2）參數法;3）定義法，4）待定系數法.

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高中數學第八章-圓錐曲線方程

考試內容：

橢圓及其標準方程．橢圓的簡單幾何性質．橢圓的參數方程．雙曲線及其標準方程．雙曲線的簡單幾何性質．拋物線及其標準方程．拋物線的簡單幾何性質．考試要求：

（1）掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程．（2）掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質．（3）掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質．（4）了解圓錐曲線的初步應用． 08.

圓錐曲線方程知識要點

一、橢圓方程.

1.橢圓方程的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為橢圓,PF1PF22aF1F2無軌跡,PF1PF22aF1F2以F1,F2為端點的線段

①橢圓的標準方程：

i.中心在原點，焦點在x軸上：

y2a2x2a2y2b21(ab0).

ii.中心在原點，焦點在y軸上：

x2b21(ab0).

2②一般方程：AxBy1(A0,B0).③橢圓的標準參數方程：

2x2a2y2b21的參數方程為

xacos（一象限應是屬于0）.2ybsin①頂點：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②軸：對稱軸：x軸，y軸；長軸長2a，短軸長2b.③(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦點：焦距：F1F2a2a2x準線：或y.⑥2c,cab.⑤

cc22離心率：ec焦點半徑：(0e1).⑦

ax2a2i.設P(x0,y0)為橢圓

y2b2PF1a1(ab0)上的一點，F1,F2為左、右焦點，則ex0,PF2aex0由橢圓方程的第二定義可以推出.ii.設P(x0,y0)為橢圓

x2b2y2a2PF11(ab0)上的一點，F1,F2為上、下焦點，則aey0,PF2aey0由橢圓方程的第二定義可以推出.

由橢圓第二定義可知：pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)歸結起來為

cc22—左加右減‖.

注意：橢圓參數方程的推導：得N(acos,bsin)方程的軌跡為橢圓.⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經.坐標：d2b2a2b2b2(c,)和(c,)

aa第39頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

共離心率的橢圓系的方程：橢圓程

x2a2y2b2x2a2y2b21(ab0)的離心率是ec(ca2b2)，方at(t是大于0的參數，ab0)的離心率也是ec我們稱此方程為共離心率的a橢圓系方程.若P是橢圓：b2tanx2a2y2b21上的點.F1,F2為焦點，若F1PF2，則PF1F2的面積為

2（用余弦定理與PF1PF22a可得）.若是雙曲線，則面積為b2cot▲y2.

二、雙曲線方程.

1.雙曲線的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為雙曲線PF1PF22aF1F2無軌跡(bcos,bsin)(acos,asin)Nx

N的軌跡是橢圓PF1PF22aF1F2以F1,F2的一個端點的一條射線①雙曲線標準方程：Ax2Cy21(AC0).

x2a2y2b21(a,b0),y2a2x2b21(a,b0).一般方程：

①i.焦點在x軸上：

a2xy頂點：(a,0),(a,0)焦點：(c,0),(c,0)準線方程x漸近線方程：0或

cabx2a2y2b20

a2ii.焦點在y軸上：頂點：(0,a),(0,a).焦點：(0,c),(0,c).準線方程：y.漸近線

cxasecxbtany2x2yx方程：0或220，參數方程：或.

ababybtanyasec2a2c②軸x,y為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.③離心率e.④準線距（兩ca2b2c準線的距離）；通徑.⑤參數關系c2a2b2,e.⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方

aa程

x2a2y2b21（F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）

“長加短減”原則：MF1ex0aMF2ex0a構成滿足MF1MF22a

▲MF1ex0aMF2ex0ay（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半

徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）M"▲yF1MMxF1F2M"F2x第40頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

MF1ey0aMF2ey0aMF1ey0aMF2ey0a等軸雙曲線：雙曲線x2y2a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率e2.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛

x2y2x2y2x2y2雙曲線.22與22互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：220.

ababab共漸近線的雙曲線系方程：

x2a2y2b2(0)的漸近線方程為

x2a2y2b20如果雙曲線的

▲x2y2xy漸近線為0時，它的雙曲線方程可設為22(0).

ababy4321F2x例如：若雙曲線一條漸近線為y211x且過p(3,)，求雙曲線的方程？2222F1533解：令雙曲線的方程為：

yx1x1.y2(0)，代入(3,)得8224直線與雙曲線的位置關系：

區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；

區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；

區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.

（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸“”近線求交和兩根之和與兩根之積同號.若P在雙曲線離比為mn.

PF1x2a2y2b21，則常用結論1：P到焦點的距離為m=n，則P到兩準線的距

簡證：

d1me=.d2PF2ne常用結論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.

三、拋物線方程.

3.設p0，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：

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圖形y22px▲y22px▲x22pyy▲x22py▲yyyxOxOxOxO焦點準線范圍對稱軸頂點離心率焦點PF2F(xp,0)2F(0,p)2F(0,yp)2F(p,0)2p2x0,yRxp2x0,yRp2xR,y0yp2xR,y0x軸y軸e1（0，0）px12px12py12py12PFPFPF4acb2b).注：①aybycx頂點(4a2a②y22px(p0)則焦點半徑PFxP;x22py(p0)則焦點半徑為PFyP.

22③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt④y2px（或x2py）的參數方程為（或）（t為參數）.2y2pty2pt22四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..

4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內到定點F和定直線l的距離之比為常數e的點的軌跡.當0e1時，軌跡為橢圓；當e1時，軌跡為拋物線；當e1時，軌跡為雙曲線；

c當e0時，軌跡為圓（e，當c0,ab時）.

a5.圓錐曲線方程具有對稱性.例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關于原點對稱的.

因為具有對稱性，所以欲證AB=CD,即證AD與BC的中點重合即可.

注：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質橢圓雙曲線拋物線第42頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

定義1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（00)a2b2xacosybsin(參數為離心角）─axa，─byb原點O（0，0）(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bF1(c,0),F2(─c,0)2c（c=a2b2）xasecybtan(參數為離心角）|x|a，yR原點O（0，0）(a,0),(─a,0)x軸，y軸;實軸長2a,虛軸長2b.F1(c,0),F2(─c,0)2c（c=a2b2）x2pt2(t為參數)y2ptx0(0,0)x軸pF(,0)2e=1ec(0e1)aec(e1)aac2x=acbxa2xp2y=±raexr(exa)rx2pPp22b2aa2c2b2aa2c焦參數1.橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的其他形式及相應性質.2.等軸雙曲線3.共軛雙曲線

5.方程y2=ax與x2=ay的焦點坐標及準線方程.6.共漸近線的雙曲線系方程.

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高中數學第九章-立體幾何

考試內容

平面及其基本性質．平面圖形直觀圖的畫法．平行直線．對應邊分別平行的角．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．直線和平面平行的判定與性質．直線和平面垂直的判定與性質．點到平面的距離．斜線在平面上的射影．直線和平面所成的角．三垂線定理及其逆定理．

平行平面的判定與性質．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個平面垂直的判定與性質．

多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．考試要求

（1）掌握平面的基本性質，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖;能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關系的圖形，能夠根據圖形想像它們的位置關系．（2）掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離．

（3）掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理；掌握直線和平面垂直的判定定理和性質定理；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理．

（4）掌握兩個平面平行的判定定理和性質定理，掌握二面角、二面角的平面角、兩個平行平面間的距離的概念，掌握兩個平面垂直的判定定理和性質定理．（5）會用反證法證明簡單的問題．

（6）了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖．（8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖．（9）了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式．9（B）．直線、平面、簡單幾何體考試內容：

平面及其基本性質．平面圖形直觀圖的畫法．平行直線．

直線和平面平行的判定與性質．直線和平面垂直的判定．三垂線定理及其逆定理．兩個平面的位置關系．

空間向量及其加法、減法與數乘．空間向量的坐標表示．空間向量的數量積．直線的方向向量．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．

直線和平面垂直的性質．平面的法向量．點到平面的距離．直線和平面所成的角．向量在平面內的射影．

平行平面的判定和性質．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個平面垂直的判定和性質．

多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．考試要求：

（1）掌握平面的基本性質。會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖：能夠畫出

第44頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

空間兩條直線、直線和平面的各種位置關系的圖形.能夠根據圖形想像它們的位置關系．（2）掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理；理解直線和平面垂直的概念.掌握直線和平面垂直的判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理．

（3）理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數乘．

（4）了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標的概念.掌握空間向量的坐標運算．（5）掌握空間向量的數量積的定義及其性質：掌握用直角坐標計算空間向量數量積的公式；掌握空間兩點間距離公式．

（6）理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內的射影等概念．

（7）掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念.對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線或在坐標表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質定理掌握兩個平面平行、垂直的判定定理和性質定理．

（8）了解多面體、凸多面體的概念。了解正多面體的概念．（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖．（10）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質。會畫正棱錐的直觀圖．（11）了解球的概念.掌握球的性質.掌握球的表面積、體積公式．（考生可在9（A）和9（B）中任選其一）

09.立體幾何知識要點

一、

平面.

1.經過不在同一條直線上的三點確定一個面.

注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內.

2.兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）

3.過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在一個平面內平行，②三條直線不在一個平面內平行）

[注]：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個.4.三個平面最多可把空間分成8部分.（X、Y、Z三個方向）二、空間直線.

1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線共面有反且有一個公共點；平行直線共面沒有公共點；異面直線不同在任一平面內[注]：①兩條異面直線在同一平面內射影一定是相交的兩條直線.（）（可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）

②直線在平面外，指的位置關系：平行或相交

③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關系是相交、平行、在平面內.④兩條平行線在同一平面內的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.

⑤在平面內射影是直線的圖形一定是直線.（）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）

⑥在同一平面內的射影長相等，則斜線長相等.（）（并非是從平面外一點向這個平面所．．引的垂線段和斜線段）

⑦a,b是夾在兩平行平面間的線段，若ab，則a,b的位置關系為相交或平行或異面.2.異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內的兩條直線）

3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

4.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）.

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（二面角的取值范圍0,180）（直線與直線所成角0,90）112（斜線與平面成角0,90）2（直線與平面所成角0,90）

方向相同方向不相同（向量與向量所成角[0,180])

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.

5.兩異面直線的距離：公垂線的長度.

空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.

l1,l2是異面直線，則過l1,l2外一點P，過點P且與l1,l2都平行平面有一個或沒有，但與l1,l2距離相等的點在同一平面內.（L1或L2在這個做出的平面內不能叫L1與L2平行的平面）三、

直線與平面平行、直線與平面垂直.

1.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.

2.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）

[注]：①直線a與平面內一條直線平行，則a∥.（）（平面外一條直線）②直線a與平面內一條直線相交，則a與平面相交.（）（平面外一條直線）③若直線a與平面平行，則內必存在無數條直線與a平行.（√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）

④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.（）（可能在此平面內）

⑤平行于同一直線的兩個平面平行.（）（兩個平面可能相交）

⑥平行于同一個平面的兩直線平行.（）（兩直線可能相交或者異面）⑦直線l與平面、所成角相等，則∥.（）（、可能相交）

3.直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）

4.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平

P面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理），aO得不出⊥PO.因為a⊥PO，但PO不垂直O(jiān)A.三垂線定理的逆定理亦成立.

A直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.[注]：①垂直于同一平面的兩個平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個平．．．．．．．．．面平行）

②垂直于同一直線的兩個平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面）

③垂直于同一平面的兩條直線平行.（√）5.垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影．．相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線

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段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.

[注]：垂線在平面的射影為一個點.[一條直線在平面內的射影是一條直線.（）]射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上

四、平面平行與平面垂直.

1.空間兩個平面的位置關系：相交、平行.

2.平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.

3.兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）

4.兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）

注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關系.

5.兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線

P也垂直于另一個平面.

推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.BMA證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于l1,l2，

O因為PM,OA,PM,OB則PMOA,PMOB.θ6.兩異面直線任意兩點間的距離公式：lm2n2d22mncos（為銳角取加，為

鈍取減，綜上，都取加則必有0,）

27.最小角定理：coscos1cos2（1為最小角，如圖）

最小角定理的應用（∠PBN為最小角）

圖1簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.

成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.五、棱錐、棱柱.

θθ1θ2圖21.棱柱.

①直棱柱側面積：SCh（C為底面周長，h是高）該公式是利用直棱柱的側面展開圖為矩形得出的.

②斜棱住側面積：SC1l（C1是斜棱柱直截面周長，l是斜棱柱的側棱長）該公式是利用斜棱柱的側面展開圖為平行四邊形得出的.

{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.四棱柱底面是側棱垂直底面是平行六面體直平行六面體底面矩形平行四邊形長方體底面是正方形正四棱柱側面與正方體底面邊長相等

棱柱具有的性質：

①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等；直棱柱的各個側面都是矩形；正棱．．．．．．．．

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柱的各個側面都是全等的矩形.．．．．．

②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.．．③過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形.

注：①棱柱有一個側面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.（）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）

②（直棱柱定義）棱柱有一條側棱和底面垂直.平行六面體：

定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.．．．．．．．．．．．．．

[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.

定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.

推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為,,，則

co2sco2sco2s1.

推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側面所成的角為,,，則

co2sco2sco2s2.

[注]：①有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）②各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（應是各側面都是正方形的直棱柱才行）．③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）

④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件）

2.棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.[注]：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形.

②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以V棱柱Sh3V棱柱.

①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心.[注]：i.正四棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側棱與底棱不一定相等

iii.正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形（即側棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側面積：S1Ch"（底面周長為C，斜高為h"）2S底cos（側面與底面成的二面角為）

③棱錐的側面積與底面積的射影公式：S側附：c以知c⊥l，cosab，為二面角alb.

a則S1lb11al①，S2lb②，cosab③①②③22得S側S底cos.

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注：S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）.棱錐具有的性質：

①正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.

②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：

①棱錐的側棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.

②棱錐的側棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.

⑥三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；

⑧每個四面體都有內切球，球心I是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.

[注]：i.各個側面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（）（各個側面的

A等腰三角形不知是否全等）baii.若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直.c簡證：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令ABa,ADc,ACb

BCDEF得BCACABba,ADcBCADbcac，已知acb0,bac0

ADO"HBGCacbc0則BCAD0.

iii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結各邊的中點的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結各邊的中點的四邊是一定是正方形.

簡證：取AC中點O"，則ooAC,BOACAC平面OOBACBOFGH90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等，則EFFGEFGH為正方形.3.球：球的截面是一個圓面.①球的表面積公式：S4R2.

4O②球的體積公式：VR3.r3緯度、經度：

①緯度：地球上一點P的緯度是指經過P點的球半徑與赤道面所成的角的度數.②經度：地球上A,B兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點A的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是B點的經度.

附：①圓柱體積：Vr2h（r為半徑，h為高）

1②圓錐體積：Vr2h（r為半徑，h為高）

31③錐形體積：VSh（S為底面積，h為高）

3RO第49頁共75頁吃得苦中苦方為人上人！

4.①內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a，h得

63232a，S底a，S側a344326321322426aaaRaRRa/3a3a.43434434411VSR3S底RS底h注：球內切于四面體：BACD側33②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關系式.

六.空間向量.

1.（1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.

注：①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.（）[當b0時，不成立]②向量a,b,c共面即它們所在直線共面.（）[可能異面]

③若a∥b，則存在小任一實數，使ab.（）[與b0不成立]④若a為非零向量，則0a0.（√）[這里用到b(b0)之積仍為向量]

（2）共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b(b0)，a∥b的充要條件是存在實數（具有唯一性），使ab.

（3）共面向量：若向量a使之平行于平面或a在內，則a與的關系是平行，記作a∥.（4）①共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，則向量P與向量a,b共面的充要條件是存在實數對x、y使Pxayb.

②空間任一點、B、C，則OPxOAyOBzOC(xyz1)是PABC四．．．O．和不共線三點．．．．．．A．．．．．點共面的充要條件.（簡證：OP(1yz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、C四點共面）注：①②是證明四點共面的常用方法.

2.空間向量基本定理：如果三個向量，那么對空間任一向量P，存在一個唯一．．．．a,b,c不共面．．．的有序實數組x、y、z，使pxaybzc.

推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序實數組x、y、z使OPxOAyOBzOC(這里隱含x+y+z≠1).

ADBG第50頁共75頁MC

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