21-2.高中數(shù)學(xué)選修2-1知識總結(jié)--圓錐曲線與方程

高中數(shù)學(xué)選修2-1知識點總結(jié)第二章圓錐曲線與方程

※※※※※※※※※裝第二章圓錐曲線與方程

本章知識結(jié)構(gòu)：

圓錐曲線的實際背景

本章知識要點：

標(biāo)準(zhǔn)方程簡單的幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線※※※※※※※※※※※※簡單應(yīng)用訂2.1曲線與方程

一、曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f(x,y)0的實數(shù)解建立如下的關(guān)系：（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解；

（2）以方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.

那么，這個方程叫做曲線的方程；這個曲線叫做方程的曲線.二、求曲線的方程1.解析幾何：

用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識形成的學(xué)科叫做解析幾何.解析幾何研究的主要問題是：

（1）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì).2.求曲線方程的步驟：

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件p的點M的集合PMp(M)；（3）用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x,y)0；

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※※※※※※※※※※※※線※※※※※※※※※※盤點知識夯實基礎(chǔ)逐步提高

（4）化方程f(x,y)0為最簡形式；

（5）說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上.

簡言之：①建系、取點②列式③代換④化簡⑤證明.

2.2橢圓

一、橢圓的定義：

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（其中2aF1F2）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

橢圓的定義可用集合語言表示為：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：當(dāng)2aF1F2；當(dāng)2aF1F2時，表示線段F1F2時，軌跡不存在.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)：

標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)橢圓焦點在x軸上時當(dāng)橢圓焦點在y軸上時x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab圖形范圍對稱軸對稱中心axa，bybaya，bxbx軸、y軸坐標(biāo)原點O(0,0)x軸、y軸坐標(biāo)原點O(0,0)第2頁共6頁高中數(shù)學(xué)選修2-1知識點總結(jié)第二章圓錐曲線與方程※※※※※※※※※裝長軸短軸頂點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)離心率長軸長2a，短軸長2b長軸長2a，短軸長2b(a,0)，(0,b)(c,0)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a(0,a)，(b,0)(0,c)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a※※※※※※※※※※※※注意：

1.a、b、c、e的幾何意義：a叫做長半軸長；b叫做短半軸長；c叫做半焦距；a、

b、c之間滿足a2b2c2.e叫做橢圓的離心率，e的扁平程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.

c且0e1，e可以刻畫橢圓a2.點P是橢圓上任一點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則PFmaxac，PFminac.3.點P是橢圓上任一點，當(dāng)點P在短軸端點位置時，F(xiàn)1PF2取最大值.

4.橢圓的第二定義：當(dāng)平面內(nèi)點M到一個定點F(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線

訂※※※※※※※※※※※※線ca2l：x的距離的比是常數(shù)e(0e1)時，這個點的軌跡是橢圓，定點是橢圓的

ac焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.

x2y25.橢圓方程221(ab0)常用三角換元為xacos,ybsin.

ab三、點與橢圓位置關(guān)系

※※※※※※※※※※x2y2點P(x0,y0)與橢圓221(ab0)位置關(guān)系：

abx02y02（1）點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)221（含焦點）

ab（2）點P(x0,y0)在橢圓上x0y012222abx02y02（3）點P(x0,y0)在橢圓外221

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盤點知識夯實基礎(chǔ)逐步提高

四、直線與橢圓位置關(guān)系

（1）直線與橢圓的位置關(guān)系及判定方法位置關(guān)系相交相切相離（2）弦長公式：

設(shè)直線ykxb交橢圓于P1(x1,y1),P2(x2,y2)

2x1x2，或|PP則|PP12|1k12|1公共點有兩個公共點有且只有一個公共點無公共點判定方法000直線與橢圓方程首先應(yīng)消去一個未知數(shù)得一元二次方程的根的判別式1y1y2(k0).k2

2.3雙曲線

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（其中2aF1F2）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.

雙曲線的定義可用集合語言表示為：PMMF1MF22a,2aF1F2.

注意：當(dāng)2aF1、F2為端點的兩條射線；當(dāng)2aF1F2時，表示分別以F1F2時，軌跡不存在.

二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時x2y221(a0,b0)2aby2x221(a0,b0)2ab圖形第4頁共6頁

高中數(shù)學(xué)選修2-1知識點總結(jié)第二章圓錐曲線與方程※※※※※※※※※裝范圍對稱軸對稱中心實軸虛軸頂點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)漸近線離心率xa，或xaya，或yax軸、y軸坐標(biāo)原點O(0,0)實軸長2a，虛軸長2bx軸、y軸坐標(biāo)原點O(0,0)實軸長2a，虛軸長2b※※※※※※※※※※※※(a,0)(c,0)，其中c2a2b2xyb0，即yxabace(其中e1)a(0,a)(0,c)，其中c2a2b2yxa0，即yxabbce(其中e1)a訂注意：

1.a、b、c、e的幾何意義：a叫做半實軸長；b叫做半虛軸長；c叫做半焦距；a、

※※※※※※※※※※※※線b、c之間滿足c2a2b2.e叫做橢圓的離心率，e張口就越大.

c且e1.e越大，雙曲線的a2.實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率e2.3.雙曲線的第二定義：當(dāng)平面內(nèi)點M到一個定點F(c,0)(c0)的距離和它到一條定

ca2直線l：x的距離的比是常數(shù)e(e1)時，這個點的軌跡是雙曲線，定點是雙

ac曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

4.直線與雙曲線位置關(guān)系同橢圓.特別地，直線與雙曲線有一個公共點，除相切外還有當(dāng)直線與漸進(jìn)線平行時，也是一個公共點.

※※※※※※※※※※x2y25.共漸近線的雙曲線可寫成22(0)；

abx2y221(b2a2).共焦點的雙曲線可寫成2ab

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盤點知識夯實基礎(chǔ)逐步提高

2.4拋物線

一、拋物線的定義：

平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注意：當(dāng)定點F在定直線l上時，點的軌跡為過點F與直線l垂直的直線.二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)：

標(biāo)準(zhǔn)y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程圖形焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性頂點離心率注意：

1.p的幾何意義：p表示焦點到準(zhǔn)線的距離.2p表示拋物線的通徑（過焦點且垂直于軸的弦）.

22.若點M(x0,y0)是拋物線y2px(p0)上任意一點，則MFx02p(,0)2px2x0(p,0)2px2x0p(0,)2py2p(0,)2py2y0y軸y0y軸x軸(0,0)e1x軸(0,0)e1(0,0)e1(0,0)e1p.23.若過焦點的直線交拋物線y2px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，則弦長

ABx1x2p.

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橢圓

一、橢圓的定義：

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（其中2aF1F2）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

橢圓的定義可用集合語言表示為：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：當(dāng)2aF1F2時，表示線段F1F2；當(dāng)2aF1F2時，軌跡不存在.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)：當(dāng)橢圓焦點在x軸上時當(dāng)橢圓焦點在y軸上時2標(biāo)準(zhǔn)方程xy21(ab0y2x2a2b2)a2b21(ab0)圖形范圍axa，bybaya，bxb對稱軸x軸、y軸x軸、y軸對稱中心坐標(biāo)原點O(0,0)坐標(biāo)原點O(0,0)長軸、短軸長軸長2a，短軸長2b長軸長2a，短軸長2b頂點坐標(biāo)(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)焦點坐標(biāo)(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2離心率eca(其中0e1)eca(其中0e1)1.a、b、c、e的幾何意義：a叫做長半軸長；b叫做短半軸長；c叫做半焦距；a、b、c之間

滿足a2b2c2.e叫做橢圓的離心率，eca且0e1，e可以刻畫橢圓的扁平程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.

2.點P是橢圓上任一點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則PFmaxac，PFminac.

3.點P是橢圓上任一點，當(dāng)點P在短軸端點位置時，F(xiàn)1PF2取最大值.

當(dāng)平面內(nèi)點M到一個定點F(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線l：xa24.橢圓的第二定義：c的

距離的比是常數(shù)eca(0e1)時，這個點的軌跡是橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.三、點與橢圓位置關(guān)系

P(xx2y2x22點0y00,y0)與橢圓a2b21(ab0)位置關(guān)系：（1）點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)a2b21

（2）點P(xy22（3）點P(xx220y00,0)在橢圓上x0y0b210,y0)在橢圓外a2a2b21

四、直線與橢圓位置關(guān)系

（1）直線與橢圓的位置關(guān)系及判定方法位置關(guān)系公共點判定方法相交有兩個公共點0直線與橢圓方程首相切有且只有一個公共點0先應(yīng)消去一個未知數(shù)得一元二次方程相離無公共點0的根的判別式（2）弦長公式：設(shè)直線ykxb交橢圓于P1(x1,y1),P2(x2,y2)

則|PP12|1k2x1x2，或|PP12|11k2y1y2(k0).雙曲線

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)

2a（其中2aF1F2）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.

雙曲線的定義可用集合語言表示為：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：當(dāng)2aF1F2時，表示分別以F1、F2為端點的兩條射線；當(dāng)2aF1F2時，軌跡不存在.二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)：當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時2標(biāo)準(zhǔn)方程xy21(a0,y2a2b2b0)a2x2b21(a0,b0)圖形范圍xa，或xaya，或ya對稱軸x軸、y軸x軸、y軸對稱中心坐標(biāo)原點O(0,0)坐標(biāo)原點O(0,0)實軸、虛軸實軸長2a，虛軸長2b實軸長2a，虛軸長2b頂點坐標(biāo)(a,0)(0,a)焦點坐標(biāo)(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2漸近線xayb0，即ybyxaaxab0，即ybx離心率eca(其中e1)eca(其中e1)1.a、b、c、e的幾何意義：a叫做半實軸長；b叫做半虛軸長；c叫做半焦距；a、b、c之

間滿足c2a2b2.e叫做橢圓的離心率，eca且e1.e越大，雙曲線的張口就越大.

2.實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線為yx離心率e2.a23.雙曲線的第二定義：當(dāng)平面內(nèi)點M到一個定點F(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線l：

xc

的距離的比是常數(shù)eca(e1)時，這個點的軌跡是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

4.直線與雙曲線位置關(guān)系同橢圓.特別地，直線與雙曲線有一個公共點，除相切外還有當(dāng)直線與漸進(jìn)線平行時，也是一個公共點.

2.4拋物線

一、拋物線的定義：

平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注意：當(dāng)定點F在定直線l上時，點的軌跡為過點F與直線l垂直的直線.二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)：

標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

圖形

焦點坐標(biāo)(p2,0)(p2,0)(0,p2)(0,p2)

準(zhǔn)線方程xpppp2x2y2y2范圍x0x0y0y0

對稱性x軸x軸y軸y軸

頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

離心率e1e11

e1e

1.p的幾何意義：p表示焦點到準(zhǔn)線的距離.2p表示拋物線的通徑（過焦點且垂直于軸的弦）.

2.若點M(x2p0,y0)是拋物線y2px(p0)上任意一點，則MFx02.3.若過焦點的直線交拋物線y22px(p0于)A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，則弦長

ABx1x2p.

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