北師大版初中數學八年級上冊知識點匯總

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第一章勾股定理

222※勾股定理：直角三角形兩直角邊的平和等于斜邊的平方。即：abc。

222勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足abc，那么這個三

角形是直角三角形。

222滿足條件abc的三個正整數，稱為勾股數。

常見的勾股數組有：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）；（9，40，41）；（20，21，29）；（這些勾股數組的倍數仍是勾股數）

第二章實數

1．※平方根和算術平方根的概念及其性質：

（1）概念：如果x2a，那么x是a的平方根，記作：a；其中a叫做a的

算術平方根。

（2）性質：①當a≥0時，a≥0；當a＜０時，a無意義；

2②a＝a；③a2a。

2．立方根的概念及其性質：

（1）概念：若x3a，那么x是a的立方根，記作：3a；（2）性質：①3a3a；

3②3aa；③3a＝3a

3．※實數的概念及其分類：

（1）概念：實數是有理數和無理數的統(tǒng)稱；（2）分類：按定義分為有理數可分為整數的分數；按性質分為正數、負數和零。

無理數就是無限不循環(huán)小數；小數可分為有限小數、無限循環(huán)小數和無限不循環(huán)小數；其中有限小數和無限循環(huán)小數稱為分數。

4．與實數有關的概念：在實數范圍內，相反數，倒數，絕對值的意義與有理數范圍內的意義完全一致；在實數范圍內，有理數的運算法則和運算律同樣成立。

每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數，即實數和數軸上的點是一一對應的。因此，數軸正好可以被實數填滿。

第三章

圖形的平移與旋轉

平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定距離，這樣的圖形運動稱為平移。

平移的基本性質：經過平移，對應線段、對應角分別相等；對應點所連的線段平行且相等。

旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形

運動稱為旋轉。

這個定點叫旋轉中心，轉動的角度叫旋轉角。

旋轉的性質：旋轉后的圖形與原圖形的大小和形狀相同；

旋轉前后兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等；對應點到旋轉中心的連線所成的角度彼此相等。

第四章四平邊形性質探索

※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不

相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。

※平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。

※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。

※菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質：具有平行四邊形的性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平

分,每一條對角線平分一組對角。

菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩

形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）

※矩形的判定：有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形(根據定義)。

對角線相等的平行四邊形是矩形。四個角都相等的四邊形是矩形。

推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

※正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）

※正方形常用的判定：

有一個內角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系(如圖所示)：

※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。

同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。

※多邊形內角和：n邊形的內角和等于（n－2）180°

※多邊形的外角和都等于360°

※在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖開叫做中心對稱圖形。

※中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段被對稱中心平分。

第五章位置的確定

※平面直角坐標系概念：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系，水平的數軸叫x軸或橫軸；鉛垂的數軸叫y軸或縱軸，兩數軸的交點O稱為原點。

※點的坐標：在平面內一點P，過P向x軸、y軸分別作垂線，垂足在x軸、y軸上對

應的數a、b分別叫P點的橫坐標和縱坐標，則有序實數對（a、b）叫做P點的坐標。

※如何根據已知條件建立適當的直角坐標系？

根據已知條件建立坐標系的要求是盡量使計算方便，一般地沒有明確的方法，但有以下幾條常用的方法：①以某已知點為原點，使它坐標為（0,0）；②以圖形中某線段所在直線為x軸（或y軸）；③以已知線段中點為原點；④以兩直線交點為原點；⑤利用圖形的軸對稱性以對稱軸為y軸等。

※圖形“縱橫向伸縮”的變化規(guī)律:

A、將圖形上各個點的坐標的縱坐標不變，而橫坐標分別變成原來的n倍時，所得的圖形比原來的圖形在橫向：①當n>1時，伸長為原來的n倍；②當0※圖形“縱橫向位置”的變化規(guī)律:

A、將圖形上各個點的坐標的縱坐標不變，而橫坐標分別加上a，所得的圖形形狀、大小不變，而位置向右（a>0）或向左(a0）或向下(b0），所得的圖形與原圖形相比，形狀不變；

①當n>1時，對應線段大小擴大到原來的n倍；②當0※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：

①設未知數（在設未知數時，大多數情況只要設問題為x或y；但也有時也須根據已知條件及等量關系等諸多方面考慮）；

②尋找等量關系（一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程）。

※處理問題的過程可以進一步概括為：

分析求解問題方程(組)解答抽象檢驗

第八章數據的代表

x,x2,xn的權分加為w1,w2,wn，則稱

※加權平均數：一組數據1x1w1x2w2xnwnw1w2wn為這n個數的加權平均數。

（如：對某同學的數學、語文、科學三科的考查，成績分別為72，50，88，而三

724503881431項成績的“權”分別為4、3、1，則加權平均數為：）

※中位數：一般地，n個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。

※眾數：一組數據中出現(xiàn)次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。

※眾數著眼于對各數據出現(xiàn)次數的考察，中位數首先要將數據按大小順序排列，而且要注意當數據個數為奇數時，中間的那個數據就是中位數；當數據個數為偶數時，居于中間的兩個數據的平均數才是中位數，特別要注意一組數據的平均數和中位數是唯一的，但眾數則不一定是唯一的。

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第一章勾股定理

※直角三角形兩直角邊的平和等于斜邊的平方。即：abc。

如果三角形的三邊長a，b，c滿足abc，那么這個三角形是直角三角形。滿足條件abc的三個正整數，稱為勾股數。常見的勾股數組有：（3，4，5）；（681（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；（這些勾股數組的倍數仍是勾股數）

222222222

第二章實數

1．平方根和算術平方根的概念及其性質：

2（1）概念：如果xa，那么x是a的平方根，記作：a；其中a叫做a的算術平方

2根。

（2）性質：①當a≥0時，a≥0；當a＜０時，a無意義；②2．立方根的概念及其性質：

33（1）概念：若xa，那么x是a的立方根，記作：a；

a＝a；③aa。

2（2）性質：①aa；②3aa；③a＝a

3．實數的概念及其分類：

（1）概念：實數是有理數和無理數的統(tǒng)稱；

（2）分類：按定義分為有理數可分為整數的分數；按性質分為正數、負數和零。無理數就是無限不循環(huán)小數；小數可分為有限小數、無限循環(huán)小數和無限不循環(huán)小數；其中有限小數和無限循環(huán)小數稱為分數。

4．與實數有關的概念：在實數范圍內，相反數，倒數，絕對值的意義與有理數范圍內的意義完全一致；在實數范圍內，有理數的運算法則和運算律同樣成立。每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數，即實數和數軸上的點是

一一對應的。因此，數軸正好可以被實數填滿。

333第三章圖形的平移與旋轉

平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定距離，這樣的圖形運動稱為平移。

平移的基本性質：經過平移，對應線段、對應角分別相等；對應點所連的線段平行且相等。旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋

轉。

這個定點叫旋轉中心，轉動的角度叫旋轉角。

旋轉的性質：旋轉后的圖形與原圖形的大小和形狀相同；

旋轉前后兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等；對應點到旋轉中心的連線所成的角度彼此相等。

（例：如圖所示，點D、E、F分別為點A、B、C的對應點，經過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。）

第四章四平邊形性質探索

※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂

點連成的線段叫做它的對角線。

※平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分�！�平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形�！�平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質：具有平行四邊形的性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條

對角線平分一組對角。

菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸�！�菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形�！�矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱

圖形，有兩條對稱軸）

※矩形的判定：有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形(根據定義)。

對角線相等的平行四邊形是矩形。四個角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）※正方形常用的判定：

有一個內角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；

對角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系(如圖3所示)：

※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形�！�一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形�！�等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。

同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。

※多邊形內角和：n邊形的內角和等于（n－2）180°※多邊形的外角和都等于360°

※在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖開叫做中心對稱圖形。

※中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段被對稱中心平分。

第五章位置的確定

※平面直角坐標系概念：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系，水平的數軸叫x軸或橫軸；鉛垂的數軸叫y軸或縱軸，兩數軸的交點O稱為原點。

※點的坐標：在平面內一點P，過P向x軸、y軸分別作垂線，垂足在x軸、y軸上對應的數a、b

分別叫P點的橫坐標和縱坐標，則有序實數對（a、b）叫做P點的坐標。

※在直角坐標系中如何根據點的坐標，找出這個點（如圖4所示），方法是由P（a、b），在x軸上找到坐標為a的點A，過A作x軸的垂線，再在y軸上找到坐標為b的點B，過B作y軸的垂線，兩垂線的交點即為所找的P點。

※如何根據已知條件建立適當的直角坐標系？

根據已知條件建立坐標系的要求是盡量使計算方便，一般地沒有明確的方法，但有以下幾條常用的方法：①以某已知點為原點，使它坐標為（0,0）；②以圖形中某線段所在直線為x軸（或y軸）；③以已知線段中點為原點；④以兩直線交點為原點；⑤利用圖形的軸對稱性以對稱軸為y軸等。

※圖形“縱橫向伸縮”的變化規(guī)律:

A、將圖形上各個點的坐標的縱坐標不變，而橫坐標分別變成原來的n倍時，所得的圖形

比原來的圖形在橫向：①當n>1時，伸長為原來的n倍；②當0※正比例函數y=kx的圖象是經過原點(0,0)的一條直線。

※在一次函數y=kx+b中:當k>0時,y隨x的增大而增大;當k

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