201*年中考數(shù)學復習數(shù)學思想專題

201*年中考數(shù)學復習專題：數(shù)學思想方法篇

中考常用到的數(shù)學思想方法有：整體思想、轉化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想等．在中考復習備考階段，教師應指導學生系統(tǒng)總結這些數(shù)學思想與方法，掌握了它的實質，就可以把所學的知識融會貫通，解題時可以舉一反三�？键c一：整體思想

整體思想是指把研究對象的某一部分（或全部）看成一個整體,通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。

整體是與局部對應的，按常規(guī)不容易求某一個（或多個）未知量時，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結構特征，把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體，從而使問題得到解決。

例1（201*德州）已知，則a+b等于（）

A．3B．C．2D．1

點評：本題考查了解二元一次方程組的應用，關鍵是檢查學生能否運用整體思想求出答案，題目比較典型，是一道比較好的題目．考點二：轉化思想

轉化思想是解決數(shù)學問題的一種最基本的數(shù)學思想。在研究數(shù)學問題時，我們通常是將未知問題轉化為已知的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將抽象的問題轉化為具體的問題，將實際問題轉化為數(shù)學問題。轉化的內涵非常豐富，已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過轉化來獲得解決問題的轉機。

例2（201*內江）已知A（1，5），B（3，1）兩點，在x軸上取一點M，使AMBM取得最大值時，則M的坐標為．點評：本題可能感覺無從下手，主要原因是平時習慣了線段之和最小的問題，突然碰到線段之差最大的問題感覺一籌莫展．其實兩類問題本質上是相通的，前者是通過對稱轉化為“兩點之間線段最短”問題，而后者（本題）是通過對稱轉化為“三角形兩邊之差小于第三邊”問題．可見學習知識要活學活用，靈活變通．考點三：分類討論思想

在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按一個標準；（3）分類討論應逐級進行．正確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏．

例3（201*黔東南州）我州某教育行政部門計劃今年暑假組織部分教師到外地進行學習，預訂賓館住宿時，有住宿條件一樣的甲、乙兩家賓館供選擇，其收費標準均為每人每天120元，并且各自推出不同的優(yōu)惠方案．甲家是35人（含35人）以內的按標準收費，超過35人的，超出部分按九折收費；乙家是45人（含45人）以內的按標準收費，超過45人的，超出部分按八折收費．如果你是這個部門的負責人，你應選哪家賓館更實惠些？

點評：此題的關鍵是用代數(shù)式列出在甲、乙兩賓館的費用，用了分類討論的方法，是解決此類問題常用的方法．考點四：方程思想

從分析問題的數(shù)量關系入手，適當設定未知數(shù)，把所研究的數(shù)學問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關系，轉化為方程或方程組的數(shù)學模型，從而使問題得到解決的思維方法，這就是方程思想。

用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結論構造方程(組)。這種思想在代數(shù)、幾何及生活實際中有著廣泛的應用。

例4（201*廣東）據(jù)媒體報道，我國201*年公民出境旅游總人數(shù)約5000萬人次，201*年公民出境旅游總人數(shù)約7200萬人次，若201*年、201*年公民出境旅游總人數(shù)逐年遞增，請解答下列問題：

（1）求這兩年我國公民出境旅游總人數(shù)的年平均增長率；

（2）如果201*年仍保持相同的年平均增長率，請你預測201*年我國公民出境旅游總人數(shù)約多少萬人次？

點評：方程是解決應用題、實際問題和許多方面的數(shù)學問題的重要基礎知識，應用范圍非常廣泛。很多數(shù)學問題，特別是有未知數(shù)的幾何問題，就需要用方程或方程組的知識來解決。具有方程思想就能夠很好地求得問題中的未知元素或未知量，這對解決和計算有關的數(shù)學問題，特別是綜合題，是非常需要的。

考點五：函數(shù)思想

函數(shù)思想是用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。

所謂函數(shù)思想的運用，就是對于一個實際問題或數(shù)學問題，構建一個相應的函數(shù)，從而更快更好地解決問題。構造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)，運用函數(shù)思想要善于抓住事物在運動過程中那些保持不變的規(guī)律和性質。

例5（201*十堰）某工廠計劃生產A、B兩種產品共50件，需購買甲、乙兩種材料．生產一件A產品需甲種材料30千克、乙種材料10千克；生產一件B產品需甲、乙兩種材料各20千克．經測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金40元，購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金105元．

（1）甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？

（2）現(xiàn)工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過38000元，且生產B產品不少于28件，問符合條件的生產方案有哪幾種？

（3）在（2）的條件下，若生產一件A產品需加工費200元，生產一件B產品需加工費300元，應選擇哪種生產方案，使生產這50件產品的成本最低？（成本=材料費+加工費）

點評：函數(shù)思想是函數(shù)概念、性質等知識更高層次的提煉和概括，是一種策略性的指導方法。運用函數(shù)思想通常是這樣進行的：將問題轉化為函數(shù)問題，建立函數(shù)關系，研究這個函數(shù)，得出相應的結論。考點六：數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質研究數(shù)量關系,尋求代數(shù)問題的解決方法(以形助數(shù)),或利用數(shù)量關系來研究幾何圖形的性質,解決幾何問題(以數(shù)助形)的一種數(shù)學思想.數(shù)形結合思想使數(shù)量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，使問題得以解決。

例6（201*襄陽）如圖，直線y=k1x+b與雙曲線y=點．

相交于A（1，2）、B（m，1）兩

（1）求直線和雙曲線的解析式；

（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）為雙曲線上的三點，且x1＜x2＜0＜x3，請直

接寫出y1，y2，y3的大小關系式；

（3）觀察圖象，請直接寫出不等式k1x+b＞的解集．

點評：數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關系的精確刻劃與幾何圖形的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。

初中數(shù)學方法

1、配方法：所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經常用到它。

2、換元法：換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數(shù)學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

3、待定系數(shù)法：在解數(shù)學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設條件列出關于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關系，從而解答數(shù)學問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學數(shù)學中常用的重要方法之一。跟蹤練習：

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1、如圖3－1－1，反比例函數(shù)y=－與一次函數(shù)y=－x+2的圖象交

x于A、B兩點．

（1）求A、B兩點的坐標；（2）求△AOB的面積．

2．(201*年江蘇揚州)已知拋物線y＝ax＋bx＋c經過點A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)關系式；

(2)設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

(3)在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點

2

M的坐標；若不存在，請說明理由．

3．已知四邊形OABC為正方形，邊長為6，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，

點D在OA上，且點D的坐標為(2,0)，點P是OB上的一個動點，則PD＋PA的最小值是()

A．210B.10C．4D．6

2

4．(201*年四川宜賓)如圖，拋物線y＝x－2x＋c的頂點A在直線l∶y＝x－5上．(1)求拋物線頂點A的坐標；

(2)設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C，D(點C在點D的左側)，試判斷△ABD的形狀；

(3)在直線l上是否存在一點P，使以點P，A，B，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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201*中考數(shù)學專題復習專題五數(shù)學思想方法（一）

（整體思想、轉化思想、分類討論思想）

一、中考專題詮釋

數(shù)學思想方法是指對數(shù)學知識和方法形成的規(guī)律性的理性認識，是解決數(shù)學問題的根本策略。數(shù)學思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質，是溝通基礎知識與能力的橋梁，是數(shù)學知識的重要組成部分。數(shù)學思想方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中。

抓住數(shù)學思想方法，善于迅速調用數(shù)學思想方法，更是提高解題能力根本之所在．因此，在復習時要注意體會教材例題、習題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學思想方法解決問題的意識．二、解題策略和解法精講

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，是讀書由厚到薄的升華，在復習中一定要注重培養(yǎng)在解題中提煉數(shù)學思想的習慣，中考常用到的數(shù)學思想方法有：整體思想、轉化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想等．在中考復習備考階段，教師應指導學生系統(tǒng)總結這些數(shù)學思想與方法，掌握了它的實質，就可以把所學的知識融會貫通，解題時可以舉一反三。三、中考考點精講考點一：整體思想

整體思想是指把研究對象的某一部分（或全部）看成一個整體,通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。

整體是與局部對應的，按常規(guī)不容易求某一個（或多個）未知量時，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結構特征，把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體，從而使問題得到解決。例1（201*吉林）若a-2b=3，則2a-4b-5=．

思路分析：把所求代數(shù)式轉化為含有（a-2b）形式的代數(shù)式，然后將a-2b=3整體代入并求值即可．

解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1．故答案是：1．點評：本題考查了代數(shù)式求值．代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設中，首先應從題設中獲取代數(shù)式（a-2b）的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．對應訓練1．（201*福州）已知實數(shù)a，b滿足a+b=2，a-b=5，則（a+b）3（a-b）3的值是．1．1000

考點二：轉化思想

轉化思想是解決數(shù)學問題的一種最基本的數(shù)學思想。在研究數(shù)學問題時，我們通常是將未知問題轉化為已知的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將抽象的問題轉化為具體的問題，將實際問題轉化為數(shù)學問題。轉化的內涵非常豐富，已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過轉化來獲得解決問題的轉機。

例2（201*東營）如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為m（容器厚度忽略不計）．思路分析：將容器側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．解：如圖：∵高為1.2m，底面周長為1m，在容器內壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，∴A′D=0.5m，BD=1.2m，∴將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B=AD2BD20.521.22=1.3（m）．故答案為：1.3．點評：本題利用轉化思想把立體問題轉化為平面問題，從而使問題簡單化、直觀化。將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．對應訓練2．（201*寧德質檢）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點P是AB上的任意一點，作PD⊥AC于點D，PE⊥CB于點E，連結DE，則DE的最小值為．2．4.8解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，如圖，連接CP，∵PD⊥AC于點D，PE⊥CB于點E，∴四邊形DPEC是矩形，∴DE=CP，當DE最小時，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知當CP⊥AB時，則CP最小，∴DE=CP=68=4.8，10故答案為4.8．

考點三：分類討論思想

在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按一個標準；（3）分類討論應逐級進行．正確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏．

例3（201*山西）某校實行學案式教學，需印制若干份數(shù)學學案，印刷廠有甲、乙兩種收費方式，除按印數(shù)收取印刷費外，甲種方式還需收取制版費而乙種不需要．兩種印刷方式的費用y（元）與印刷份數(shù)x（份）之間的關系如圖所示：（1）填空：甲種收費的函數(shù)關系式是．乙種收費的函數(shù)關系式是．

（2）該校某年級每次需印制100～450（含100和450）份學案，選擇哪種印刷方式較合算？

思路分析：（1）設甲種收費的函數(shù)關系式y(tǒng)1=kx+b，乙種收費的函數(shù)關系式是y2=k1x，直接運用待定系數(shù)法就可以求出結論；

（2）由（1）的解析式分三種情況進行討論，當y1＞y2時，當y1=y2時，當y1＜y2時分別求出x的取值范圍就可以得出選擇方式．解：（1）設甲種收費的函數(shù)關系式y(tǒng)1=kx+b，乙種收費的函數(shù)關系式是y2=k1x，由題意，得

6b，12=100k1，16100kbk0.1解得：，k1=0.12，

b6∴y1=0.1x+6，y2=0.12x；

（2）由題意，得

當y1＞y2時，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；當y1=y2時，0.1x+6=0.12x，得x=300；當y1＜y2時，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；∴當100≤x＜300時，選擇乙種方式合算；當x=100時，甲乙兩種方式一樣合算；當300＜x≤4500時，選擇甲種方式合算．故答案為：y1=0.1x+6，y2=0.12x．點評：本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，運用函數(shù)的解析式解答方案設計的運用，解答時求出函數(shù)解析式是關鍵，分類討論設計方案是難點．對應訓練3．（201*牡丹江）某農場的一個家電商場為了響應國家家電下鄉(xiāng)的號召，準備用不超過105700元購進40臺電腦，其中A型電腦每臺進價2500元，B型電腦每臺進價2800元，A型每臺售價3000元，B型每臺售價3200元，預計銷售額不低于123200元．設A型電腦購進x臺、商場的總利潤為y（元）．（1）請你設計出進貨方案；

（2）求出總利潤y（元）與購進A型電腦x（臺）的函數(shù)關系式，并利用關系式說明哪種方案的利潤最大，最大利潤是多少元？

（3）商場準備拿出（2）中的最大利潤的一部分再次購進A型和B型電腦至少各兩臺，另一部分為地震災區(qū)購買單價為500元的帳篷若干頂．在錢用盡三樣都購買的前提下請直接寫出購買A型電腦、B型電腦和帳篷的方案．3．解：（1）設A型電腦購進x臺，則B型電腦購進（40-x）臺，由題意，得2500x2800(40-x)105700x3200(40-x)123200，3000解得：21≤x≤24，∵x為整數(shù)，∴x=21，22，23，24∴有4種購買方案：方案1：購A型電腦21臺，B型電腦19臺；方案2：購A型電腦22臺，B型電腦18臺；方案3：購A型電腦23臺，B型電腦17臺；方案4：購A型電腦24臺，B型電腦16臺；（2）由題意，得y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x），=500x+16000-400x，=100x+16000．∵k=100＞0，∴y隨x的增大而增大，∴x=24時，y最大=18400元．（3）設再次購買A型電腦a臺，B型電腦b臺，帳篷c頂，由題意，得2500a+2800b+500c=18400，c=18425a28b5．∵a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c為整數(shù)，∴184-25a-28b＞0，且是5的倍數(shù)．且c隨a、b的增大而減�。�當a=2，b=2時，184-25a-28b=78，舍去；當a=2，b=3時，184-25a-28b=50，故c=10；當a=3，b=2時，184-25a-28b=53，舍去；當a=3，b=3時，184-25a-28b=25，故c=5；當a=3，b=4時，184-25a-28b=-2，舍去，當a=4，b=3時，184-25a-28b=0，舍去．∴有2種購買方案：方案1：購A型電腦2臺，B型電腦3臺，帳篷10頂，方案2：購A型電腦3臺，B型電腦3臺，帳篷5頂．四、中考真題演練一、選擇題1．（201*杭州）若a+b=3，a-b=7，則ab=（）A．-10B．-40C．10D．401．A2．（201*黃岡）已知一個圓柱的側面展開圖為如圖所示的矩形，則其底面圓的面積為（）

A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π2．C3．（201*達州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有ADCE中，DE最小的值是（）A．2B．3C．4D．5

3．B4．（201*齊齊哈爾）CD是⊙O的一條弦，作直徑AB，使AB⊥CD，垂足為E，若AB=10，CD=8，則BE的長是（）A．8B．2C．2或8D．3或74．C5．（201*瀘州）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（）A．25cm

43cmB．45cmC．25cm或45cmD．2cm或

5．C6．（201*欽州）等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°6．B7．（201*新疆）等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為（）A．12B．15C．12或15D．187．B8．（201*荊州）如圖，將含60°角的直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉45°度后得到△AB′C′，點B經過的路徑為弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，則圖中陰影部分的面積是（）A．

2B．

3C．

4D．π

8．A

二、填空題

9．（201*棗莊）若a2b2＝9．11，ab＝，則a+b的值為．631210．（201*雅安）若（a-1）2+|b-2|=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為．10．511．（201*宿遷）已知⊙O1與⊙O2相切，兩圓半徑分別為3和5，則圓心距O1O2的值是．11．8或212．（201*咸寧）如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為．

12．2213．（201*宿遷）若函數(shù)y=mx2+2x+1的圖象與x軸只有一個公共點，則常數(shù)m的值是．13．0或114．（201*黃石）若關于x的函數(shù)y=kx2+2x-1與x軸僅有一個公共點，則實數(shù)k的值為．14．0或-115．（201*雅安）在平面直角坐標系中，已知點A（-5，0），B（5，0），點C在坐標軸上，且AC+BC=6，寫出滿足條件的所有點C的坐標．15．（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）16．（201*綏化）直角三角形兩直角邊長是3cm和4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉一周所得到的幾何體的表面積是cm2．（結果保留π）16．24π，36π，84π53上的點B重合，若點B的縱坐標是1，則點A的橫坐標x17．（201*紹興）在平面直角坐標系中，O是原點，A是x軸上的點，將射線OA繞點O旋轉，使點A與雙曲線y=是．17．2或-218．（201*廣東）如圖，三個小正方形的邊長都為1，則圖中陰影部分面積的和是（結果保留π）．18．3819．（201*盤錦）如圖，在平面直角坐標系中，直線l經過原點O，且與x軸正半軸的夾角為30°，點M在x軸上，⊙M半徑為2，⊙M與直線l相交于A，B兩點，若△ABM為等腰直角三角形，則點M的坐標為．

19．（22，0）或（-22，0）

20．（201*涼山州）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0），（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為．

20．（2，4）或（3，4）或（8，4）21．（201*呼和浩特）在平面直角坐標系中，已知點A（4，0）、B（-6，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標為．21．（0，12）或（0，-12）22．（201*泰州）如圖，⊙O的半徑為4cm，直線l與⊙O相交于A、B兩點，AB=43cm，P為直線l上一動點，以1cm為半徑的⊙P與⊙O沒有公共點．設PO=dcm，則d的范圍是．22．d＞5cm或2cm≤d＜3cm23．（201*溫州）一塊矩形木板，它的右上角有一個圓洞，現(xiàn)設想將它改造成火鍋餐桌桌面，要求木板大小不變，且使圓洞的圓心在矩形桌面的對角線上．木工師傅想了一個巧妙的辦法，他測量了PQ與圓洞的切點K到點B的距離及相關數(shù)據(jù)（單位：cm），從點N沿折線NF-FM（NF∥BC，F(xiàn)M∥AB）切割，如圖1所示．圖2中的矩形EFGH是切割后的兩塊木板拼接成符合要求的矩形桌面示意圖（不重疊，無縫隙，不記損耗），則CN，AM的長分別是．23．18cm、31cm24．（201*樂亭縣一模）如圖，已知直線y=x+4與兩坐軸分別交于A、B兩點，⊙C的圓心坐標為（2，O），半徑為2，若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值和最大值分別是．24．8-22和8+2225．（201*內江）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值=．

25．526．（201*天門）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，正三角形OEF繞點O旋轉．在旋轉過程中，當AE=BF時，∠AOE的大小是．

26．15°或165°

三、解答題27．（201*湖州）某農莊計劃在30畝空地上全部種植蔬菜和水果，菜農小張和果農小李分別承包了種植蔬菜和水果的任務．小張種植每畝蔬菜的工資y（元）與種植面積m（畝）之間的函數(shù)如圖①所示，小李種植水果所得報酬z（元）與種植面積n（畝）之間函數(shù)關系如圖②所示．（1）如果種植蔬菜20畝，則小張種植每畝蔬菜的工資是元，小張應得的工資總額是元，此時，小李種植水果畝，小李應得的報酬是元；（2）當10＜n≤30時，求z與n之間的函數(shù)關系式；（3）設農莊支付給小張和小李的總費用為w（元），當10＜m≤30時，求w與m之間的函數(shù)關系式．27．：（1）由圖可知，如果種植蔬菜20畝，則小張種植每畝蔬菜的工資是=140元，小張應得的工資總額是：140×20=2800元，此時，小李種植水果：30-20=10畝，1（160+120）小李應得的報酬是1500元；故答案為：140；2800；10；1500；（2）當10＜n≤30時，設z=kn+b（k≠0），∵函數(shù)圖象經過點（10，1500），（30，3900），10kb1500∴，30kb3900解得k120，b300所以，z=120n+300（10＜n≤30）；（3）當10＜m≤30時，設y=km+b，∵函數(shù)圖象經過點（10，160），（30，120），∴10kb160，30kb120k-2解得，b180∴y=-2m+180，∵m+n=30，∴n=30-m，∴①當10＜m≤20時，10＜n≤20，w=m（-2m+180）+120n+300，=m（-2m+180）+120（30-m）+300，=-2m2+60m+3900，②當20＜m≤30時，0＜n≤10，w=m（-2m+180）+150n，=m（-2m+180）+150（30-m），=-2m2+30m+4500，-2m260m3900(10m20)所以，w與m之間的函數(shù)關系式為w=．-2m230m4500(20m30)28．（201*杭州）已知拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A，B（點A，B在原點O兩側），與y軸相交于點C，且點A，C在一次函數(shù)y2=3x+n的圖象上，線段AB長為416，線段OC長為8，當y1隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍．28．解：根據(jù)OC長為8可得一次函數(shù)中的n的值為8或-8．分類討論：①n=8時，易得A（-6，0）如圖1，∵拋物線經過點A、C，且與x軸交點A、B在原點的兩側，∴拋物線開口向下，則a＜0，∵AB=16，且A（-6，0），∴B（10，0），而A、B關于對稱軸對稱，∴對稱軸直線x=610=2，2要使y1隨著x的增大而減小，則a＜0，∴x＞2；（2）n=-8時，易得A（6，0），如圖2，∵拋物線過A、C兩點，且與x軸交點A，B在原點兩側，∴拋物線開口向上，則a＞0，∵AB=16，且A（6，0），∴B（-10，0），而A、B關于對稱軸對稱，∴對稱軸直線x=610=-2，2要使y1隨著x的增大而減小，且a＞0，∴x＜-2．29．（201*隨州）為了維護海洋權益，新組建的國家海洋局加強了海洋巡邏力度．如圖，一艘海監(jiān)船位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處．（1）在這段時間內，海監(jiān)船與燈塔P的最近距離是多少？（結果用根號表示）（2）在這段時間內，海監(jiān)船航行了多少海里？（參數(shù)數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，62.449．結果精確到0.1海里）29．解：（1）如圖，過點P作PC⊥AB于C點，則線段PC的長度即為海監(jiān)船與燈塔P的最近距離．由題意，得∠APC=90°-45°=45°，∠B=30°，AP=100海里．在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠APC=45°，∴PC=AC=2AP=502海里；2（2）在Rt△PCB中，∵∠BCP=90°，∠B=30°，PC=502海里，BC=3PC=506海里，∴AB=AC+BC=502+506=50（2+6）≈50（1.414+2.449）≈193.2（海里），答：輪船航行的距離AB約為193.2海里．30．（201*湘潭）如圖，C島位于我南海A港口北偏東60方向，距A港口602海里處，我海監(jiān)船從A港口出發(fā)，自西向東航行至B處時，接上級命令趕赴C島執(zhí)行任務，此時C島在B處北偏西45°方向上，海監(jiān)船立刻改變航向以每小時60海里的速度沿BC行進，則從B處到達C島需要多少小時？30．解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=1×602=302海里，2∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BC=302×2=60海里，60÷60=1（小時）．答：從B處到達C島需要1小時．31．（201*三明）如圖①，AB是半圓O的直徑，以OA為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點（P與點A，O不重合），AP的延長線交半圓O于點D，其中OA=4．（1）判斷線段AP與PD的大小關系，并說明理由；AP的長；（2）連接OD，當OD與半圓C相切時，求（3）過點D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設AP=x，OE=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．31．解：（1）AP=PD．理由如下：如圖①，連接OP．∵OA是半圓C的直徑，∴∠APO=90°，即OP⊥AD．又∵OA=OD，∴AP=PD；（2）如圖①，連接PC、OD．∵OD是半圓C的切線，∴∠AOD=90°．由（1）知，AP=PD．又∵AC=OC，∴PC∥OD，∴∠ACP=∠AOD=90°，AP的長=∴902=π；180（3）分兩種情況：①當點E落在OA上（即0＜x≤22時），如圖②，連接OP，則∠APO=∠AED．又∵∠A=∠A，∴△APO∽△AED，∴APAO．AEAD∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y，∴x4，4y2x∴y=-12x+4（0＜x≤22）；2②當點E落在線段OB上（即22＜x＜4）時，如圖③，連接OP．同①可得，△APO∽△AED，∴APAO．AEADx4，4y2x∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，∴∴y=

12x+4（22＜x＜4）．

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