一次函數及其圖像知識點總結

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第一節(jié)：函數

一、知識歸納函數的概念

一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。函數的三種表達式：（1）圖象；（2）表格；（3）關系式。要使函數的解析式有意義。

函數的解析式是整式時，自變量可取全體實數；

②函數的解析式是分式時，自變量的取值應使分母≠0；

③函數的解析式是二次根式時，自變量的取值應使被開方數≥0。④函數的解析式是三次根式時，自變量的取值應是一切實數。（2）對于反映實際問題的函數關系，應使實際問題有意義。4常見函數關系式幾何物理生活

二、經典題型

題型考點一求簡單的函數關系式，識別自變量與因變量，給定自變量的值，相應地會求出函數的值。

例1.某市自來水公司為限制單位用水，每月只給某單位計劃內用水300噸，計劃內用水每噸收費0.5元，超計劃部分每噸按0.8元收費。

⑴寫出該單位水費y(元)與每月用水量x(噸)之間的函數關系式：①用水量小于等于3000噸；②用水量大于3000噸。

⑵某月該單位用水3200噸，水費是元；若用水2800噸，水費元。⑶若某月該單位繳納水費1540元，則該單位用水多少噸？參考答案：(1)y=0.5x、y=1500＋0.8(x－3000)(2)16601400(3)3050

例2.函數是研究()

A．常量之間的對應關系的B．常量與變量之間的對應關系的C．變量與常量之間對應關系的Ｄ．變量之間的對應關系的題型考點二確定函數的自變量取值范圍，例1．（201*四川涼山）在函數yx1中，自變量x的取值范圍是____2x1題型考點三能根據實際問題的意義以及函數關系式，確定函數圖像

例1、某游客為爬上3千米高的山頂看日出，先用了1小時爬了2千米，休息0.5小時后，又用了1小時爬上了山頂。游客爬山所用時間t與登山高度h間的函數關系用圖形表示是（）

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第二節(jié)一次函數一、知識歸納

知識點一：一次函數的定義

函數y=______(k、b為常數，k_____,自變量x的次數是U___U次)叫做一次函數.知識點二：正比例函數的定義

當b_____時，函數y=_____(k______,比例系數U____)叫做正比例函數.知識點三：一次函數與正比例函數的異同

（1）一次函數y=kx+b的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移b絕對值個單位長度而得到（當b＞0時，向上平移；當b＜0時，向下平移）。

（2）正比例函數是特殊的一次函數，當一次函數中y=kx+b的b=0時，一次函數就變成正比例函數y=kx二經典題型

題型考點一：理解一次函數和正比例函數的概念與定義例1已知函數y=(2-m)x+2m-3.求當m為何值時,(1)此函數為正比例函數此函數為一次函數

題型考點二：根據實際情況，確定一次函數解析式，求出相應的值

例1氣溫隨著高度的增加而下降，下降的一般規(guī)律是從地面到高空11km處，每升高1km,氣溫下降6℃．高于11km時，氣溫幾乎不再變化，設地面的氣溫為38℃，高空中xkm的氣溫為y℃．（1）當0≤x≤11時，求y與x之間的關系式？（2）求當x=2、5、8、11時，y的值。

（3）求在離地面13km的高空處、氣溫是多少度？（4）當氣溫是一16℃時，問在離地面多高的地方？

第三節(jié)一次函數圖像

知識歸納知識點一

1、函數圖象的的概念：把一個函數的自變量x與對應的函數y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系中描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫這個函數的圖象；2、畫函數圖象的步驟：

①列表；②描點；③連線．知識點二：一次函數的圖象

比例函數y=kx(k≠0)的圖象是過原點和（1，___）兩點的_____________

⑵一次函數y=kx＋b(k≠0)的圖象是過點(0，_____)、(______，0)的___________（3）一次函數y=kx+b的k、b的值對一次函數圖象的影響。yyyyoxoxoxox①②③④

①k0,b0,y＝kx+b的圖象在一、二、三象限；②k0,b0,y＝kx+b的圖象在一、三、四象限；③k0,b0,y＝kx+b的圖象在一、二、四象限；k0,b0,y＝kx+b的圖象在二、三、四象。

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知識點三：一次函數的性質

比例函數y=kx(k≠0)是特殊的一次函數，當k>0時，圖象過______象限，y隨x的增大而______；當k0時，y隨x的增大而______；當k0(或kx＋b一元一次不等式咨詢電話：2238700022397000

題型考點四：一次函數圖像與象限關系

1.一次函數ykxb的圖象只經過第一、二、三象限，則()A．k0，b0

B．k0，b0

C．k0，b0D．k0，b0

2（201*年湖北十堰市）一次函數y=2x－2的圖象不經過的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知直線y=(5－3m)x+

21m－4與直線y=x+6平行，求此直線的解析式.32題型考點五：自變量與因變量取值范圍

例1、已知y－1與x成正比例，當x=－2時，y=4（1）求出y與x函數表達式

（2）把（1）中函數圖象向上平移2個單位，設點（a，－2）在這個平移圖象上求a值。（3）如果x取值范圍0≤x≤5，求y取值范圍

第四節(jié)確定一次函數的表達式

一、知識歸納

知識點一：求一次函數的表達式

用待定系數法求一次函數解析式的一般步驟:.二經典題型

題型考點一：用待定系數法求一次函數解析式

1.當x=5時一次函數y=2x+k和y=3kx－4的值相同，那么k和y的值分別為（）A.1,11B.－1,9C.5,11D.3,32.若直線y=kx+b經過A（1，0），B（0，1），則（）A.k=－1,b=－1B.k=1,b=1C.k=1,b=－1D.k=－1,b=1

3、已知某個一次函數的圖像與x軸、y軸的交點坐標分別是（－2，0）、（0，4），則這個函數的解析式為_____________。

4.已知某個一次函數的圖像如圖所示，則該函數的解析式為__________。

題型考點一：一次函數圖像與面積

例8.已知直線ykx4與兩坐標軸所圍成的三角形為__________。

yy面積等于4，則直線解析式

2O1xFAEBOCx

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第五節(jié)一次函數圖像的應用

知識點一：

若直線l與直線ykxb關于

（1）x軸對稱，則直線l的解析式為ykxb（2）y軸對稱，則直線l的解析式為ykxb

y（3）直線y＝x對稱，則直線l的解析式為

1bxkk1bxkk

（4）直線yx對稱，則直線l的解析式為

y（5）原點對稱，則直線l的解析式為ykxb

例1.若直線l與直線y2x1關于y軸對稱，則直線l的解析式為____________。解：由（2）得直線l的解析式為y2x1

題型考點一：利用圖像信息解決實際問題

1、某自來水公司中為了鼓勵市民節(jié)約用水，采取分段收費標準，某戶居民每月應交水費y（元）是用水量x（t）的函數，其圖象如圖所示

y元（1）與出x≤8時，函數表達式。（2）寫出x＞8時，函數表達式。1412（3）由圖象知收費標準為。

（4）當某戶居民該月用水15噸，則應交水費_____元。

x(t)o810題型考點二：一次函數的應用1．（11分）小明在暑期社會實踐活動中，以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克西瓜到市場上去銷售，在銷售了40千克西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完．銷售金額與售出西瓜的千克數之間的關系如圖4所示．請你根據圖象提供的信息完成以下問題：

(1)求降價前銷售金額y(元)與售出西瓜x(千克)之間的函數關系式．(2)小明從批發(fā)市場共購進多少千克西瓜?(3)小明這次賣瓜賺了多少錢?

題型考點三：通過兩種函數的圖像解決問題

1、已知兩個一次函數y=x+3k和y=2x－6的圖象交點在y軸上，則k值為。

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擴展閱讀：初中數學一次函數知識點總結

一次函數知識點總結:

一次函數：一次函數圖像與性質是中考必考的內容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應用性強。甚至有存在探究題目出現。主要考察內容：①會畫一次函數的圖像，并掌握其性質。②會根據已知條件，利用待定系數法確定一次函數的解析式。③能用一次函數解決實際問題。④考察一ic函數與二元一次方程組，一元一次不等式的關系。突破方法：①正確理解掌握一次函數的概念，圖像和性質。②運用數學結合的思想解與一次函數圖像有關的問題。③掌握用待定系數法球一次函數解析式。④做一些綜合題的訓練，提高分析問題的能力。

函數性質：

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k.即：y=kx+b（k，b為常數，k≠0），∵當x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.當x=0時，b為函數在y軸上的點,坐標為(0，b)。

3當b=0時(即y=kx)，一次函數圖像變?yōu)檎�比例函數，正比例函數是特殊的一次函數�?/p>

4.在兩個一次函數表達式中：

當兩一次函數表達式中的k相同，b也相同時，兩一次函數圖像重合；當兩一次函數表達式中的k相同，b不相同時，兩一次函數圖像平行；當兩一次函數表達式中的k不相同，b不相同時，兩一次函數圖像相交；當兩一次函數表達式中的k不相同，b相同時，兩一次函數圖像交于y軸上的同一點（0，b）。若兩個變量x,y間的關系式可以表示成Y=KX+b(k,b為常數，k不等于0）則稱y是x的一次函數圖像性質

1．作法與圖形：通過如下3個步驟：（1）列表.

（2）描點；[一般取兩個點,根據“兩點確定一條直線”的道理，也可叫“兩點法”。一般的y=kx+b(k≠0）的圖象過（0，b）和（-b/k，0）兩點畫直線即可。

正比例函數y=kx(k≠0）的圖象是過坐標原點的一條直線，一般�。�0,0）和（1，k）兩點。（3）連線，可以作出一次函數的圖象一條直線。因此，作一次函數的圖象只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖象與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）.

2．性質：

（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數的圖像都是過原點。

3．函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。

4．k，b與函數圖像所在象限：

y=kx時（即b等于0，y與x成正比例)：

當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當k0,b>0,這時此函數的圖象經過第一、二、三象限；當k>0,b

中考要求

1．經歷函數、一次函數等概念的抽象概括過程，體會函數及變量思想，進一步發(fā)展抽象思維能力；經歷一次函

數的圖象及其性質的探索過程，在合作與交流活動中發(fā)展合作意識和能力．

2．經歷利用一次函數及其圖象解決實際問題的過程，發(fā)展數學應用能力；經歷函數圖象信息的識別與應用過程，發(fā)展形象思維能力．

3．初步理解一次函數的概念；理解一次函數及其圖象的有關性質；初步體會方程和函數的關系．

4．能根據所給信息確定一次函數表達式；會作一次函數的圖象，并利用它們解決簡單的實際問題.中考熱點

一次函數知識是每年中考的重點知識，是每卷必考的主要內容．本知識點主要考查一次函數的圖象、性質及應用，這些知識能考查考生綜合能力、解決實際問題的能力．因此，一次函數的實際應用是中考的熱點，和幾何、方程所組成的綜合題是中考的熱點問題.中考命題趨勢及復習對策

一次函數是數學中重要內容之一，題量約占全部試題的5％～10％，分值約占總分的5％～

10％，題型既有低檔的填空題和選擇題，又有中檔的解答題，更有大量的綜合題，近幾年中考試卷中還出現了設計新穎、貼近生活、反映時代特征的閱讀理解題、開放探索題、函數應用題，這部分試題包括了初中代數的所有數學思想和方法，全面地考查計算能力，邏輯思維能力、空間想象能力和創(chuàng)造能力．

針對中考命題趨勢，在復習時應先理解一次函數概念．掌握其性質和圖象，而且還要注重一次函數實際應用的練習．

復習要點

一次函數的圖象和性質

正比例函數的圖象和性質

考點講析

1．一次函數的意義及其圖象和性質

⑴．一次函數：若兩個變量x、y間的關系式可以表示成y=kx＋b(k、b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一

次函數(x是自變量,y是因變量〕特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數．

⑵．一次函數的圖象：一次函數y=kx+b的圖象是經過點(0，b),(－，0）的一條直線，正比例函數y=kx的圖

象是經過原點(0，0）的一條直線，如下表所示．

⑶．一次函數的性質：y=kx＋b(k、b為常數，k≠0）當k＞0時，y的值隨x的值增大而增大；當k＜0時，y的值隨x值的增大而減�。�

⑷．直線y=kx＋b(k、b為常數，k≠0）時在坐標平面內的位置與k在的關系．①②③④

直線經過第一、二、三象限（直線不經過第四象限）；直線經過第一、三、四象限（直線不經過第二象限）；直線經過第一、二、四象限（直線不經過第三象限）；直線經過第二、三、四象限（直線不經過第一象限）；

2．一次函數表達式的求法

⑴．待定系數法：先設出式子中的未知系數，再根據條件列議程或議程組求出未知系數，從而寫出這個式子的方法，叫做待定系數法，其中的未知系數也稱為待定系數。

⑵．用待定系數法求出函數表殼式的一般步驟：⑴寫出函數表達式的一般形式；⑵把已知條件(自變量與函數的對應值)公共秩序函數表達式中，得到關于待定系數的議程或議程組；⑶解方程(組)求出待定系數的值，從而寫出函數的表達式。

⑶．一次函數表達式的求法：確定一次函數表達式常用待定系數法，其中確定正比例函數表達式，只需一對x與y的值，確定一次函數表達式，需要兩對x與y的值。

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