初中高中數(shù)學競賽常用公式表達式總結(jié)

乘法與因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b

（在三角形中，必然有兩邊之和大于第三邊，即為三角不等式。

三角不等式1

三角不等式還有以下推論：兩條相交線段AB、CD，必有AC+BD小于AB+CD。|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(定理)，也稱為三角不等式。

加強條件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，這個不等式也可稱為向量的三角不等式（其中a，b分別為向量a和向量b）將三角函數(shù)的性質(zhì)融入不等式.如:當X在(0,90*)時,有sinxsin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正負由α/2所在象限決定）

cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正負由α/2所在象限決定）

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα）/（1+cosα）]^(1/2)

推導：tan（α/2）=sin（α/2）/cos（α/2）=[2sin（α/4）cos（α/4]/[2cos(α/4)^2-1]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n

+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圓心坐標

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標準方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c"*h正棱錐側(cè)面積S=1/2c*h"正棱臺側(cè)面積S=1/2(c+c")h"

圓臺側(cè)面積S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l球的表面積S=4πr^

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2*l*r錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱體積V=S"L

注：其中,S"是直截面面積，L是側(cè)棱長柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

擴展閱讀：高中數(shù)學競賽精華(小結(jié))

高中數(shù)學競賽精華小結(jié)

一、三角函數(shù)常用公式

由于是講競賽，這里就不再重復過于基礎的東西，例如六種三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式等等。但是由于現(xiàn)在的教材中常用公式刪得太多，有些還是不能不寫。先從最基礎的開始（這些必須熟練掌握）：半角公式：

sin21cos21cos21cos1cossin1cossin1coscos2tan2積化和差：

sincos1sinsin21cossinsinsin

21coscoscoscos

21sinsincoscos

2和差化積：

sinsin2sin22sinsin2cossin

22coscos2coscos

22coscos2sinsin

22萬能公式：

cos

sin22tan21tan1tan2cos221tantan22tan

1tan2三倍角公式：sin33sin4sin34sin60sinsin60cos34cos33cos4cos60coscos60

二、某些特殊角的三角函數(shù)值除了課本中的以外，還有一些sincostan156246245146246242375231872514三、三角函數(shù)求值

給出一個復雜的式子，要求化簡。這樣的題目經(jīng)�？迹�而且一般化出來都是一個具體值。要熟練應用上面的常用式子，個人認為和差化積、積化和差是競賽中最常用的，如果看到一些不常用的角，應當考慮用和差化積、積化和差，一般情況下直接使用不了的時候，可以考慮先乘一個三角函數(shù)，然后利用積化和差化簡，最后再把這個三角函數(shù)除下去。舉個例子

246coscos7772提示：乘以2sin，化簡后再除下去。

7求值：cos

求值：cos10cos50sin40sin80

來個復雜的設n為正整數(shù)，求證

22sini1ni2n12n12n另外這個題目也可以用復數(shù)的知識來解決，在復數(shù)的那一章節(jié)里再講。

四、三角不等式證明

最常用的公式一般就是：x為銳角，則sinxxtanx；還有就是正余弦的有界性。例

求證：x為銳角，sinx+tanx典型例子：an1aanb

cand注：我感覺一般非用不動點不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。

我們?nèi)绻�用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定系數(shù)，又要求倒數(shù)之類的，太復雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了令xaxb，即cx2daxb0，

cxd令此方程的兩個根為x1，x2，若x1=x2則有

11p

an1x1anx1其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等差數(shù)列通項公式求解。注：如果有能力，可以將p的表達式記住，p=若x1≠x2則有

2cadan1x1ax1qnan1x2anx2其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項公式求解。注：如果有能力，可以將q的表達式記住，q=

acx1

acx2(3)特征根法

特征根法是專用來求線性遞推式的好方法。

先來了解特征方程的一般例子，通過這個來學會使用特征方程。①an2pan1qan

特征方程為x2=px+q，令其兩根為x1，x2

nn則其通項公式為anAx1，A、B用待定系數(shù)法求得。Bx2②an3pan2qan1ran

特征方程為x3=px2+qx+r，令其三根為x1，x2，x3

則其通項公式為anAx1Bx2Cx3，A、B、C用待定系數(shù)法求得。

注：通過這兩個例子我們應當能夠得到特征方程解線性遞歸式的一般方法，可以試著寫出對于一般線性遞歸式的特征方程和通項公式，鑒于3次以上的方程求解比較困難，且競賽中也不多見，我們僅需掌握這兩種就夠了。(4)數(shù)學歸納法

簡單說就是根據(jù)前幾項的規(guī)律猜出一個結(jié)果然后用數(shù)學歸納法去證。這樣的題雖說有不少但是要提高不完全歸納的水平實在不易。大家應當都會用數(shù)學歸納法，因此這里不詳細說了。

nnn但需要記得有這樣一個方法，適當?shù)臅r候可以拿出來用。(5)聯(lián)系三角函數(shù)

三角函數(shù)是個很奇妙的東西，看看下面的例子

an12an21an看起來似乎摸不著頭腦，只需聯(lián)系正切二倍角公式，馬上就迎刃而解。

注：這需要我們對三角函數(shù)中的各種公式用得很熟，這樣的題目競賽書中能見到很多。例

數(shù)列an定義如下：a12，求an通項。2，an124an注：這個不太好看出來，試試大膽的猜想，然后去驗證。

(6)迭代法

先了解迭代的含義

f0xx，f1xfx，f2xffx，f3xfffx，

f右上角的數(shù)字叫做迭代指數(shù)，其中f再來了解復合的表示

nx是表示fnx的反函數(shù)

fgxfgx，fghxfghx

如果設Fxg1fgx，則Fnxg1fngx，就可以將求F(x)的迭代轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

求f(x)的迭代。這個公式很容易證明。使用迭代法求值的基礎。

而在數(shù)列中我們可以將遞推式看成an1Fan，因此求通項和求函數(shù)迭代就是一樣的了。我們盡量找到好的g(x)，以便讓f(x)變得足夠簡單，這樣求f(x)的n次迭代就很容易得到了。從而再得到F(x)的n次迭代式即為通項公式。練習

an滿足a11，a22，a2n1已知數(shù)列a2na2n1，a2n2a2n1a2n，試求數(shù)列的2通項公式。

注：此題比較綜合，需熟練掌握各種求通項公式的常用方法。

下面是我的一個原創(chuàng)題目：

已知數(shù)列an滿足a10，a21，an1nanan1，求該數(shù)列的通項公式。

2數(shù)列求和

求和的方法很多，像裂項求和，錯位相減等等，這些知識就算單純應付高考也應該都掌握了，這里不再贅述。主要寫競賽中應當掌握的方法阿貝爾恒等式。阿貝爾（Abel）恒等式有多種形式，最一般的是

abSbkkkk1k1knn1kbk1Snbn

其中Skai1k

注：個人認為，掌握這一個就夠了，當然還有更為一般的形式，但是不容易記，也不常用。Abel恒等式就是給出了一個新的求和方法。很多時候能簡化不少。例：假設a1a2an0，且

a1，求證：2ii1i1nnaiii11

計數(shù)問題1抽屜原則

我第一次接觸抽屜原則，是在一本奧賽書的答案上，有一步驟是：由抽屜原則可得，于是我就問同學，什么是抽屜原則，同學告訴我，三個蘋果放進兩個抽屜，必有一個抽屜里至少有兩個蘋果。后來才發(fā)現(xiàn)，抽屜原則不只是這么簡單的，它有著廣泛的應用以及許多種不同的變形，下面簡單介紹一下抽屜原則。抽屜原則的常見形式

一，把n+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，一定存在一個抽屜中至少有兩個物體。

二，把mn+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，一定存在一個抽屜中至少有m+1個物體。

三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，那么后在一個抽屜里至少放入了m1+1個物體，或在第二個抽屜里至少放入了m2+1個物體，，或在第n個抽屜里至少放入了mn+1個物體

四，把m個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，有兩種情況：①當n|m時（n|m表示n整除m），一定存在一個抽屜中至少放入了個抽屜中至少放入了[

m個物體；②當n不能整除m時，一定存在一nm]+1個物體（[x]表示不超過x的最大整數(shù)）n五，把無窮多個元素分成有限類，則至少有一類包含無窮多個元素。注：背下來上面的幾種形式?jīng)]有必要，但應當清楚這些形式雖然不同，卻都表示的一個意思。理解它們的含義最重要。在各種競賽題中，往往抽屜原則考得不少，但一般不會很明顯的讓人看出來，構(gòu)造抽屜才是抽屜原則中最難的東西。一般來說，題目中一旦出現(xiàn)了“總有”“至少有”“總存在”之類的詞，就暗示著我們：要構(gòu)造抽屜了。

從自然數(shù)1，2，3，99，100這100個數(shù)中隨意取出51個數(shù)來，求證：其中一定有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的倍數(shù).

用2種顏色涂5×5共25個小方格，證明：必有一個四角同色的矩形出現(xiàn).

2容斥原理

容斥原理常常使用，其實說簡單點，就是從多的往下減，減過頭了在加回來，又加多了再減，減多了再加，最終得到正確結(jié)果。對于計數(shù)中容易出現(xiàn)重復的題目，我們常常采用容斥原理，去掉重復的情況。容斥原理基本形式：

nA1A2An|Ai|i11ijnAiAj1ijknAiAjAk1n1A1A2An

其中|A|表示集合A中元素的個數(shù)。

在不大于201*的正整數(shù)中，至少可被3,5,7之一整除？

由數(shù)字1，2，3，4，5組成的n位數(shù)，要求n位數(shù)中這五個數(shù)字每個至少出現(xiàn)一次，求所有這種n位數(shù)的個數(shù)。

3遞推方法

許多競賽題目正面計算十分困難，于是我們避開正面計算，先考慮n-1時的情況，在計算n時的情況比n-1時的情況增添了多少，然后寫出一個遞推式，這樣就可以利用數(shù)列的知識進行解決，但一般要求根據(jù)遞推式求通項的能力要比較強，適合擅長數(shù)列的同學使用。設m為大于1的正整數(shù)，數(shù)列{an}滿足：a1+a2++an模m余0，0注：此題即為很好的映射計數(shù)例子。因為即便不用映射我們可以把A(n)求出來，再把B(n+2)求出來，然后比較后會發(fā)現(xiàn)兩者相等，但這顯然是超大工作量，如果使用了映射計數(shù)，我們只需用一些技巧，在A(n)和B(n+2)中建立雙射，此題即得到證明。

二，建立單射或滿射

設n為正整數(shù)，我們稱{1,2,,2n}的一個排列{x1，x2,,x2n}具有性質(zhì)P：如果存在1≤i≤2n-1，使得|xi-xi+1|=n，求證：對任何n，具有性質(zhì)P的排列比不具有性質(zhì)P的排列個數(shù)多。

注：映射計數(shù)可能會有一定難度，如果覺得掌握不了也不要灰心，只要多練，時間一長自然就會了。

不等式與最值1平均不等式設aiR(i=1,2,…,n)調(diào)和平均值：Hnn1i1ain

幾何平均值：Gnnai1nini

算術(shù)平均值：Anai1nn

方冪平均值：Gnai12in

HnGnAnGn

等號成立當且僅當a1a2an注意：運用平均不等式需注意各項均為正數(shù)！題外話：有很多同學十分“痛恨”

這兩個符號，總是看不懂，其實這兩個符號是

絕對好用的，并且以后會常常遇到，在大學課本中更是家常便飯，多看幾次自然也就習慣了。例題：

求證：4a14b14c14d16a,b,c,dR，且abcd1，分析：

為了湊出a+b+c+d，以便充分利用條件，將4a+1,4b+1,4c+1,4d+1視作整體，利用平均不等式。

2柯西不等式及其變形設ai,biR(i=1,2,…,n)，則

nn2n2aibiaibii1i1i1其中等號成立，當且僅當

2ai為定值bi注：這個式子在競賽中極為常用，只需簡記為“積和方小于方和積”。等號成立條件比較特殊，要牢記。此外應注意在這個式子里不要求各項均是正數(shù)，因此應用范圍較廣。常用變形一：

若aiR，biR(i=1,2,…,n)，則nainai2i1ni1bibii12注：要求bi為正數(shù)常用變形二：

若ai，biR(i=1,2,…,n)，則

nainaii1ni1biaibii12注：要求ai，bi均為正數(shù)。當然，這兩個式子雖常用，但是記不記并不太重要，只要將柯西不等式原始的式子記得很熟，這兩個式子其實是一眼就能看出來的，這就要求我們對柯西不等式要做到活學活用。例：若5a6b7c4d1，求3a2b5cd的最小值。并指出等號成立的條件。分析：

由于a,b,c,d各項系數(shù)不同，而且既有1次項，又有2次項，顯然要用柯西不等式。而且使用柯西不等式不受-7c這項的影響。使用時，注意寫明等號成立條件，檢驗最小值能否取到。

柯西不等式推廣赫爾德不等式若ai，biR(i=1,2,…,n)，p>1，q>1且

1p1q2222111則pqpqababiiii

i1i1i1注：這個式子成立的前提挺多，不難看出當p=q=2時，這個式子即為柯西不等式。3排序不等式4琴生不等式

首先來了解凸函數(shù)的定義

一般的，設f(x)是定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)如果對于定義域內(nèi)的任意兩數(shù)x1，x2都有

nnnxx2fx1fx2f122則稱f(x)是(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù)，一般說的凸函數(shù)，也就是下凸函數(shù)，例如y=x2，從圖像上即

可看出是下凸函數(shù)，也不難證明其滿足上述不等式。如果對于某一函數(shù)上述不等式的等號總是不能成立，則稱此函數(shù)為嚴格凸函數(shù)。注：凸函數(shù)的定義為我們提供了極為方便地證明一個函數(shù)為凸函數(shù)的方法。這個方法經(jīng)常使用。此外利用二階求導也可以判斷一個函數(shù)為凸函數(shù)，凸函數(shù)的二階導數(shù)是非負數(shù)。凸函數(shù)具有的常用性質(zhì)性質(zhì)一：

對于(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)f(x)，有

nxifi1nfxii1nn

注：此即常說的琴生不等式。性質(zhì)二：加權(quán)的琴生不等式對于(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)，若

ai1ni1，則

nnfaixiaifxii1i注：加權(quán)琴生不等式很重要，當ai1時，即為原始的琴生不等式。n注：另外，對于上面有關(guān)凸函數(shù)和琴生不等式的部分，如果將不等號全部反向，則得到的便是凹函數(shù)，以及凹函數(shù)的琴生不等式。例

n設xi>0（i=1,2,…,n），

xi1i1，求證：i1nxi1xii1nxi

n1注：不僅要用琴生不等式，注意知識綜合利用。

5利用二次函數(shù)的性質(zhì)

一般來說，許多題目是涉及x，y，z三個量的證明題，由于二次函數(shù)的性質(zhì)十分好用，因此湊出一個關(guān)于其中一個字母的二次函數(shù)，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決最值問題。例

設x,y,z≥0，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-3xyz的最大最小值。提示：

43z1zz214z3z2將x=1-y-z代入，整理成關(guān)于y的二次函數(shù)，最值即為

43z1整理后不難得到z=0和z=1式分別取到最大值即可。

2，

1和最小值0，然后只需舉一例證明能夠取到

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