第十四章一次函數小結

第十四章一次函數小結

昆明市實驗中學初二（５）班陳璇

一、函數的有關概念

（１）變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同的量叫做常量，保持不變的量叫做常量。

注意：變量和常量往往是相對而言的，在不同研究過程中，常量和變量的身份是可以相互轉換的。（２）函數與自變量

一般地，如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如ｘ和ｙ，對于ｘ的每一個值，ｙ都有唯一的值與之對應，我們就說ｘ是自變量，ｙ是因變量，此時也稱ｙ是ｘ的函數。

注意：函數體現的是一個變化的過程，在這一變化過程中，要著重把握以下三點：（１）只能有兩個變量。

（２）一個變量的數值隨著另一個變量的數值變化而變化。

（３）對于自變量的每一個確定的值，函數都有唯一的值與之對應。二、函數的表示方法

函數的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。

（１）解析法：

兩個變量之間的關系，有時可以用一個含有這兩個變量的等式表示，這種表示方法叫做解析式。用解析式表示一個函數關系時，因變量ｙ放在等式的左邊，自變量ｘ的代數式放在右邊，其實質是用ｘ的代數式表示ｙ。

注意：解析法簡單明了，能準確地反應整個變化過程中自變量與因變量的關系，但不直觀，且有的函數關系不一定能用解析法表示出來。

（２）列表法：

把自變量ｘ的一系列值和函數ｙ的對應值列成一個表來表示函數關系的方法叫做列表法。

注意：列表法優(yōu)點是一目了然，使用方便，但其列出的對應值是有限的而且從表中不易看出自變量和函數之間的對應規(guī)律。

（３）圖像法：

用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。

注意：圖像法形象直觀，是研究函數的一種很重要的方法。

在解決問題時，我們常常綜合運用三種方法來表示函數。三、函數自變量取值范圍及函數值

函數自變量的取值范圍是指函數有意義的自變量的取值的全體。求自變量的取值范圍通常從兩個方面考慮：一是要使函數的解析式有意義；二是符合客觀實際。下面給出一些簡單函數解析式中自變量范圍的確定方法。

（１）當函數的解析式是整式時，自變量取任意實數（即全體實數）。

（２）當函數的解析式是分式時，自變量取值是使分母不為零的任意實數。

（３）當函數的解析式是開平方的無理式時，自變量值是使被開放的式子為非負的實數。

（４）當函數解析式中自變量出現在零次冪或負整數次冪的底數中時，自變量值取值是使底數不為零的實數。

對于自變量在取值范圍內的一個值，如當ｘ＝ａ時，函數有唯一確定的對應值，這個值就是當ｘ＝ａ時的函數值。

注意：若已知函數解析式及自變量的值求函數值，其實質就是求關于自變量ｘ的代數式的值。若已知函數解析式及函數值求自變量的值，其實質就是解關于自變量ｘ的方程。四、函數的圖像

（１）函數圖像的意義

一般來說，函數的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成。圖像上每一點的坐標（ｘ，ｙ）代表了函數的一對對應值，他的橫坐標ｘ表示自變量的某一個值，縱坐標ｙ表示與它對應的函數值。（２）函數圖像的畫法

在直角坐標系中，如果描出以自變量的值為橫坐標、相應函數值為縱坐標的點，那么所有這樣的點組成的圖形叫做這個函數的圖像。

知道了函數解析式要畫出函數的圖像，一般經歷以下三步：①列表：

取自變量的一些值，計算出對應的函數值，由這一系列的對應值得到一系列的有序實數對。②描點：

在直角坐標系中，描出這些有序實數對的對應點。③連線：

用平滑的曲線依次把這些點連起來，即可得到這個函數的圖像。五、數學思想方法

（１）數形結合思想

本章中比較廣泛地應用數形結合的思想來研究問題。數形結合，直觀形象，由數思形，由形思數，兩者巧妙結合，為分析問題和解決問題創(chuàng)造了有利條件，幫助我們去分析和解決問題。

（２）函數思想

研究一個實際問題時，首先從問題中抽象出特定的函數關系，然后利用函數的性質得出結論，最后把結論應用到實際問題中去，從而得到實際問題的研究結果。將實際問題數學化，通過建立函數模型，利用函數性質解決實際問題。

（３）轉化思想

將復雜問題轉化為簡單問題，將未知轉化為已知，將抽象轉化為具體，這是數學中常用的思想方法。六、一次函數（正比例函數）的概念

解析式是用自變量的一次整式表示的函數，我們稱之為一次函數。一次函數的一般形式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其中ｋ、ｂ為常數，ｋ≠０，特別地，當ｋ＝０時，一次函數ｙ＝ｋｘ（常數ｋ≠０）也叫做正比例函數。

注意：（１）如果一個函數是一次函數，則含有自變量ｘ的式子是一次的，系數ｋ不等于０，而ｂ可以為任意實數。

（２）自變量ｘ的取值范圍是任意實數。

（３）ｋ≠０這個條件不可忽略。

（４）正比例函數與一次函數之間的關系：

①正比例函數是特殊的一次函數，即一次函數包含正比例函數。

②一次函數不一定是正比例函數，在一次函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，當ｂ＝０時，

ｙ是ｘ的正比例函數；當ｂ≠０時ｙ不是ｘ的正比例函數。七、一次函數的圖像

（１）一次函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的圖像是一條直線，通常也稱為直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ，一方面，一次函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像可以用描點法畫出；另一方面，由于兩點確定一條直線，故畫一次函數的圖像時，只要先描出兩點，再連成直線就可以了，為了方便，常用圖像與坐標軸的兩個交點（０，ｂ）和（－，０）

（２）正比例函數ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像是經過原點（０，０）的一條直線，通常畫正比例函數ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像只需取一點（１，ｋ），然后過原點和這一點畫直線。八、對一次函數的ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的系數ｋ、ｂ的理解

（１）直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ表示直線向上的方向與ｘ軸正方向夾角的大小程度，即直線的傾斜程度；ｂ是直線與ｙ軸交點的縱坐標，ｂ＞０時，直線與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時，直線過原點，是正比例函數；ｂ＜０時，直線與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時，直線過原點，是正比例函數；ｂ＜０時，直線與ｙ軸交于負半軸上。

（２）兩直線ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的位置關系。①當ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２時，兩直線平行。②當ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２時，兩直線重合。

注意：（１）當ｋ＞０時，直線必經過一、三象限；ｋ＜０時，直線必經過二、四象限。當ｂ＞０時，直線與ｙ軸正半軸相交，故必過一、二象限；ｂ＝０時，直線過原點；ｂ＜０時，直線與ｙ軸負半軸相交，故直線過三、四象限。

（２）ｙ隨ｘ的增大而增大，還是ｙ隨ｘ的增大而減小，只取決于ｋ的符號，與ｂ無關。九、一次函數解析式的確定

（１）根據數學規(guī)律、關系確定函數解析式

①對于探索一系數、圖形個數等規(guī)律時，其關鍵是找出問題的兩個變量之間存在的數量關系。②對于幾何圖形中的兩個量的關系，要能夠結合幾何圖形的性質確定兩個變量的關系。

③對于實際問題中的兩個量之間的關系，要分析出各個量之間存在的數量關系，并能正確用含一個量的代數式表示另一個量，同時注意自變量的取值范圍。

（２）待定系數法確定函數解析式

先設出函數解析式，再根據已知條件確定解析式中未知的系數，從而具體寫出函數解析式的方法，叫做待定系數法，待定系數法是求函數解析式最常用的方法，其一般步驟是：

①設一次函數解析式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。

②將函數圖像所經過的任意兩點的坐標帶入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。③解此二元一次方程組，得待定系數k、b的值。④確定函數解析式。注意：（１）在正比例函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，且為常數）中，只有一個待定系數ｋ，確定正比例函數關系式只需一個條件。

（２）在一次函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ、ｂ為常數，且ｋ≠０）中，有兩個待定系數ｋ和ｂ，因此確定一次函數關系式需要兩個條件。

十、一次函數與方程（組）及不等式之間的關系（１）一次函數與一元一次方程

直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點的橫坐標，就是一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０的解。

求直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸的交點，可令ｙ＝０得方程ｋｘ＋ｂ＝０，解方程得ｘ＝－，－是直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點的橫坐標。反之，由函數的圖像也能求出對應的一元一次方程的解。（２）一次函數與二元一次方程（組）

一次函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解；以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解為坐標的點都在一次函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像上。

兩條直線ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的交點的橫、縱坐標就是方程組ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１

ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２

注意：若ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２，則兩直線平行，無交點，所以方程組無解；若ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２，則兩直線重合，通常不研究此類情況。（３）二元一次方程組的圖像解法

畫出方程組對應的兩個一次函數的圖像，找出它們的交點，這個交點的坐標就是二元一次方程組的解，這種解方程組的方法叫做二元一次方程組的圖像解法。

（４）一次函數與一元一次不等式

使一次函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數值ｙ大于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集，同樣使一次函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數值ｙ小于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＜０的解集。

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第十四章一次函數復習小結

一、本章知識結構圖

二、各個知識點突破

（一）1、當x、y滿足什么條件時，y是x的函數。

答：判斷的標準：對于x取一個確定的值，y是否有唯一確定的值與之對應。

2、并能夠寫出函數的解析式，并判斷哪些是常量、變量、自變量、函數。

常量：始終不變的量。變量：數值發(fā)生變化的量。自變量：先變的那個量。函數：隨著自變量而發(fā)生變化的量。3、自變量的取值范圍。

答：三種情況：①一般情況下是全體實數。②有分母的，則分母不能為0。③開平方的，被開方數要≥0。練習：1、下列圖象中，表示y是x的函數圖象的是（）

2、設地面氣溫是20℃，如果每升高1千米，氣溫下降6℃，則氣溫T與高度h之間的函數關系式是。其中常量是，變量是，自變量是，是的函數。當h=6時的函數值為。3、y=

1中，x的取值范圍是；y2x3中，x的取值范圍是。x2x中，x的取值范圍是；yx14、y2x1，x的取值范圍是。

（二）函數的表示方法有：列表法、解析式法、圖象法優(yōu)缺點：列表法：直觀準確，但不完全。解析式法：準確完全，但不直觀。

圖象法：直觀形象，但不夠準確也不太完全。（三）正比例函數和一次函數的圖象和性質。（掌握熟記，能夠隨手畫出圖象來）函數解析式圖象性質①k>0時，圖象從左到右上升，經過一、三象限，y隨著x的增大而增大。②k0時，圖象從左到右上升，y隨著x的增大而增大。②k0，圖象并于y軸正半軸；b0，b>0時，函數圖象過一、二、三象限k>0，b

3、下列函數當中，①y2x1，②y2x1③，y2x1，④y2x1，⑤y11x1，⑥yx1，22y隨著x的增大而減小的有，交于y軸正半軸的有，圖象經過一、二、四象限的有。

4、利用兩點法畫出下列圖象。

方法：正比例函數：確定兩點：原點（0,0）和（1,k），

一次函數：確定兩點：與y軸的交點即x=0，算出y的值（0,）、與x軸的交點即y=0，算出x的值（,0）。（1）y11x（2）y2x1（3）yx122

（四）能夠用待定系數法求正比例函數和一次函數的解析式。

方法：①先設出相應的解析式。如正比例函數（過原點的圖象）則設為y=kx,若只說是一條直線，則設為y=kx+b。②再從已知條件或圖象上確定兩個點的坐標。（注：若是正比例函數，只要確定一個點的坐標即可）

③把點的坐標的橫坐標（作為x的值）、縱坐標（作為y的值）代入解析式中，解出k、b的值。④k、b的值值代入原設的解析式中得出解析式。練習：1、直線過點（3,2）且與y軸的并點坐標為（0,-2），求直線的解析式。

2、直線過原點，且與y軸交于點(0,3)，求直線的解析式。

（五）一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組與一次函數之間的關系。（1）一元一次方程與一次函數的關系。（注：先把一元一次方程轉化為ax+b=0的形式。）

一元一次方程ax+b=0與求自變量x為何值時，一次函數y=ax+b的值為0實際上是同一個問題。表現在圖象上即直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標即是方程ax+b=0的解。（2）一元一次不等式與一次函數的關系。（注：先把一元一次不等式轉化為ax+b＞0或ax+b＜0的形式。）

一元一次方程ax+b＞0或ax+b＜0可以看作是：當一次函數y=ax+b的值大于0或小于0時，求自變量相應的取值范圍。表現在圖象上：ax+b＞0即直線y=ax+b在x軸上方的圖象對應的x的取值范圍。ax+b＜0即直線y=ax+b在x軸下方的圖象對應的x的取值范圍。（3）二元一次方程與一次函數的關系。（注：先把每一個一元一次方程轉化為y=ax+b的形式，即用含x的式子表示y）

二元一次方程組y1kx1b1可以轉化為：兩個一次函數在自變量取何值時，函數值相等。在圖象上表現為：

y2kx2b2求兩條直線交點坐標的問題。

練習：利用函數圖象解下列方程、不等式和方程組。

xy3（1）3x2x2(2)5x33x5(3)

3xy5

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