高中數(shù)學必修2知識點總結(jié)04 圓與方程

高中數(shù)學必修2知識點總結(jié)04圓與方程

坐標法是以坐標系為橋梁，把研究幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)的方法，是解析幾何中最基本的研究方法。通過坐標系把點與坐標、曲線與方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)空間形式與數(shù)量關(guān)系的結(jié)合。教材要求：掌握如何在直角坐標系中建立圓的方程；并通過圓的方程研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；掌握空間直角坐標系的有關(guān)知識；體會數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。

一、圓與方程高考考試內(nèi)容及考試要求：

掌握圓的標準方程和一般方程；了解參數(shù)方程的概念；理解直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；掌握空間直角坐標系的有關(guān)知識；二、圓的方程課標要求：

回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。要點精講：

1．圓的方程（1）圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的標準方程為：(xa)2(yb)2r2(r0)。（其參數(shù)方程為

xarcos（θ為參數(shù)））特殊地，當a=b=0時，圓心在原點的圓的方程為：x2y2r2（其參數(shù)ybrsinxrcos方程為（θ為參數(shù)））。

yrsinDE（2）圓的一般方程xyDxEyF0，圓心為點(,)，半徑r222222其中DE4F0。

D2E24F，

2（3）二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0，表示圓的方程的充要條件是：①、x2項y2項的系數(shù)相同且不為0，即AC0；

22②、沒有xy項，即B=0；③、DE4AF0。

（4）點M(x0,y0)與圓(xa)(yb)r的關(guān)系的判斷方法：

1）(x0a)2(y0b)2r2，點在圓外；2）(x0a)2(y0b)2r2，點在圓上；3）(x0a)2(y0b)2r2，點在圓內(nèi)

三、直線、圓的位置關(guān)系課標要求：

1．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；

3．在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。要點精講:

1．直線AxByC0與圓(xa)(yb)r的位置關(guān)系有三種

2222

（1）若dAaBbCAB22，dr相離0；

（2）dr相切0；（3）dr相交0。

AxByC0還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組2求解，通過解的個數(shù)來判2xyDxEyF0斷：

（1）當方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點），直線與圓相交；（2）當方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點），直線與圓相切；（3）當方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離；

即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

相切dr0相交dr0相離dr0注：直線與圓的位置關(guān)系：l：f1（x，y）＝0．圓C：f2（x，y）＝0消y得F（x2）＝0。（1）直線與圓相交：F（x，y）＝0中＞0；或圓心到直線距離d＜r。直線與圓相交的相關(guān)問題：

①弦長AB1kx1x21k(x1x2)4x1x2，或AB2rd；②弦中點坐標22222x1x2y1y2,；③弦中點軌跡方程。22（2）直線與圓相切：F（x）＝0中＝0，或d＝r．其相關(guān)問題是切線方程．如P（x0，y0）是圓x2＋y2＝r2上的點，過P的切線方程為x0x＋y0y＝r2，其二是圓外點P（x0，y0）向圓到兩條切線的

2切線長為(x0a)(y0b)r或x0y0r；其三是P（x0，y0）為圓x2＋y2＝r2外一點引

22222兩條切線，有兩個切點A，B，過A，B的直線方程為x0x＋y0y＝r2。

（3）直線與圓相離：F（x）＝0中＜0；或d＜r；主要是圓上的點到直線距離d的最大值與最小值，設(shè)Q為圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上任一點，|PQ|max＝|PC|＋r；|PQ|min＝|PQ|－r，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值．2．兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d。

dr1r2外離4條公切線dr1r2外切3條公切線r1r2dr1r2相交2條公切線；dr1r2內(nèi)切1條公切線0dr1r2內(nèi)含無公切線

判斷兩個圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個數(shù)來解決。

注：圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距|O1O2|與兩半徑r1，r2的和差關(guān)系判定．（1）設(shè)⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0。

①兩圓相交A、B兩點，其公共弦所在直線方程為（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0；②經(jīng)過兩圓的交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括⊙O2方程）。

5．直線與圓的方程的應(yīng)用

（1）利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系；（2）過程與方法，用坐標法解決幾何問題的步驟（“三步曲”）：

第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；

第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。四、空間直角坐標系課標要求：

1．掌握空間直角坐標系的有關(guān)概念；會根據(jù)坐標找相應(yīng)的點，會寫一些簡單幾何體的有關(guān)坐標；會求空間兩點間的距離公式；

2．通過空間直角坐標系的建立，使學生初步意識到：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決空間問題的基本思想方法；

3．通過本節(jié)的學習，培養(yǎng)學生類比，遷移，化歸的能力。要點精講:

1．如圖：OABC-D′A′B′C′是單位正方體，我們類比平面直角坐標系的建立來建立一個坐標系即空間直角坐標系，以O(shè)為原點，分別以射線OA，OC，OD′的方向為正方向，以線段OA，OC，OD′的長為單位長度，建立三條數(shù)軸Ox，Oy，Oz稱為x軸、y軸和z軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標系Oxyz，其中O叫坐標原點，x軸、y軸和z軸叫坐標軸.如果我們把通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，我們又得到三個坐標平面xOy平面，yOz平面，zOx平面。

由此我們知道，確定空間直角坐標系必須有三個要素，即原點、坐標軸方向、單位長.

上圖表示的空間直角坐標系也可以用右手來確定。用右手握住z軸，當右手的四個手指從x軸正向以90°的角度轉(zhuǎn)向y軸的正向時，大拇指的指向就是z軸的正向.我們稱這種坐標系為右手直角坐標系.如無特別說明，我們課本上建立的坐標系都是右手直角坐標系.

2．有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,在空間直角坐標系內(nèi)建立了空間的點M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應(yīng)關(guān)系。3．空間中任意點M的坐標都可以用有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M（x,y,z）,x叫做點M的橫坐標,y叫做點M的縱坐標,z叫做點M的豎坐標。4．空間兩點間的距離公式

空間中任意一點P1(x1,y1,z1)到點P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2（參考教材：人教版必修2A版）

擴展閱讀：高中數(shù)學必修2知識點總結(jié)：第四章 圓與方程

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高中數(shù)學必修2知識點總結(jié)

第四章圓與方程

4.1.1圓的標準方程

1、圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點M(x0,y0)與圓(xa)（1）(x0（3）(x02(yb)2r2的關(guān)系的判斷方法：

a)2(y0b)2>r2，點在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點在圓上a)2(y0b)2歸海木心QQ:634102564

（4）當l|r1r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)切；（5）當l|r1r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)含；

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法

用坐標法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

RM4.3.1空間直角坐標系

1、點M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，x、上的坐標

2、有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，對應(yīng)著空間直角坐標系中的一點

y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸

xOPQM"y3、空間中任意點M的坐標都可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M(x,y,z)，x叫做點M的橫坐標，坐標。y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎

z4.3.2空間兩點間的距離公式1、空間中任意一點P1(x1,y1,z1)到點P2(x2,y2,z2)之間的距離公式P1P2P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)222N1xOM1MM2HN2yN

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